PROBLÈME H

5o. Trouver la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès d'un, nombre quelconque de têtes.

SOLUTION

Soient A , B, C, .... les têtes sur lesquelles est constituée l'annuité, et désignons comme au n** 23 les probabilités que chaque tête a de subsister i , 2, 3 . . . . ans. Alors, la probabilité que l'une ou l'autre de ces têtes a de subsister à la fin de la première année

sera d'après le n* 26 : 1 — Ç i — — j ^ ( ^ r^

X (i - ^) X .(c. = £ + ^ + iil + etc.- 4'^'

\ c y a * 0 c ' ah

a'c b'c ^ , a^b'c . ^ . . . etc. H j-tîtc, expression qui

étant multipliée par ( i -f- p)~S ou la valeur actuelle de I fr. payable dans un an , donnera la valeur actuelle de la rente de la première année, ou lespèrance qu'on a de recevoir celte rente , l'une quelconque des têtes subsistant à la fin de la première année. De la même manière, la probabilité que l'une ou l'autre des tètes proposées a de subsister à la ïin de la seconde an-

née étant . - ( , -fl) x ( i --f ) X (i-f) Xetc.= ^ + £1+ ïl+etc- ^-^

a 0 ^ C ab ac

— -7-; etc. -| -, 1- etc. , cette expression

multipliée par ( 1 + p)~* ou la valeur actuelle de I fr. payable dans deux ans, donnera la valeur actuelle de la rente de la seconde année. De même encore

rexpression i - ( i --) x ( i ~^) X (i --}

d" . b'" , c'" , a'b'" a'V X etc. = h } h et^'- 7

a ' Z> ' c ' ab ac

— —T etc. -j T— ^ + etc. , étant multipliée par

( I +p)~^ donnera la valeur actuelle de la rente de la troisième année. Et ainsi de suite pour toutes les an- Tiées suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, et la somme de toutes ces espérances par-

liclJes, ou la série

I fa' h' c' a'h' a c' h' c a l/c' \

— -— ( + -H f-elc. etc -f- — — ^-elc. )

(i-f-f) \a b c au ac hc abc /

+ r-T-<-\ f- / — ' ^^^^- 1 -, ^tc.-J l-etc. )

(l-f-p)'\a b c ab ac bc abc /

I /a'" b'" c'" ci"h"' a"'c"' h"'c"' a'"b"'c"' \

-\.-—-—{ — f---H ^etc. ■- etc.H f-etc. )

(•4-p)'\<* b c ab ac bc abc J

-f- etc.

sera la valeur totale actuelle de l'annuité demandée.

56. Mais la première colonne verticale de cette expression est la valeur d'une annuité sur la télé A; la vSeconde est la valeur d'une annuité sur la tète B; la troisième est la valeur d'une annuité sur la tête C ; etc. De la même manière, les quatrième, cinquième et sixième colonnes verticales sont les valeurs d'une annuité sur les groupes de têtes AB, AC, BC, etc., et ainsi de suite. Donc si nous substituons respectivement à ces valeurs les caractères adoptés au proh. I, cor. î. la formule générale deviendra A -^ B -^ C -\- etc. — JB—JC—BC—eic.+ JBC+eXc, et par conséquent la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès des têles proposées, est égale à la somme des valeurs d'une annuité sur chacune de ces têîes isolément , moins la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes que forment ces têtes en les combinant deux à deux ; plus la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes que forment ces têtes en les combinant trois à trois; moins la somme des valeurs d'une annuité sur les groupes qu'elles forment en les combinant quatre à quatre, et ainsi de suite. Donc, quand on donne les valeurs d'une annuité surcha-

cunedes têtes proposées et sur les divers groupes provenant de leur combinaison , il est facile de déterminer la valeur d'une annuilé payable jusqu'à leur dernier décès. Pour la facilité des raisonnemens, j'appellerai L cette valeur, et j'aurai soin toutes les fois que je ferai usage de ce caractère, d'indiquer le nombre de têtes sur lesquelles repose l'annuité.

Voyez, pour l'applicatiou de ce problème, les questions VIII et IX du chapitre XII.

Corollaire i.

57. Si toutes les têlessont égales, ou du même âge que A et que leur nombre soit représenté par n , alors la probabilité que l'une ou lautre de ces têtes a de subsister après un an, deux anâ, trois ans, etc., sera représentée respectivement par

o-^j. -(-:-)■• -(--fy.

etc.

Si l'on développe ces quantités au moyen de la formule du binôme, et qu'on les multiplie respectivement par la valeur actuelle de i fr. payable après ces divers délais, leur somme, ou la série

71, ^ ^ -'—o-^' etc.

(i-4-ç)L ^ 2aa 2 6 aaa J

^ t I Yi, ^1 . -, ——etc.

{i-{-()'\ *a laa "^2*3* aaa ' }

^ 4 n ^^ — ^ -'—T^- etc.

(i-fç) L « 2aû 2 3 aaa J