CT
o o 1-1 iJ
pj 1-1
QWfcMOK^fct^HJ
en M
es «
•- rt rt
"^ Ti r^ ^ P^ CL,
to -a>
tn ^5
<D es ^^
g 12; o ^ O Pï
58. Ce tableau peut aussi servir à calculer les annuités sur une seule tête; il suffira de biffer les logarithmes des lignes E et F. On peut encore s'en servir pour un groupe de trois têtes A, B, C^ en ajoutant aux logarithmes des lignesD etE (pour obtenir la ligne F), les logarithmes des nombres de vivans après n — cT, Yi — ^ — i^Yi — S — 2, etc. années, à partir de la naissance, cTdésignant la différence d'âgeentre A et C. Il est évident que par cette méthode le calcul des valeurs des annuités sur un groupe de deux ou plusieurs têtes est presque aussi facile que celui des annuités sur une seule tête, et que le principal travail est de chercher les logarithmes des nombres de vivans aux différens âges et les nombres correspondans aux logarithmes des résultats.
59. On conçoit qu'une erreur dans Fun des nombres se perpétuera dans tousles nombres suivans ; or, comme ce n^est qu'avec une peine infinie que l'on parvient à la fin de l'opération à découvrir la source de Terreur^ il y aurait une grande utilité à pouvoir vérifier l'exactitude des nombres de chaque colonne à mesure que Ton opère, M. Morgan, dans sa Théorie des Annuités ^ etc., p. 58, a exposé une méthode à cet effet, et j'en ai extrait la règle suivante.
40. Écrivez dans îa ligne horizontale M les logarithmes de (i -f-pr^"""^"'^ (i + pr'""'-^\
( I -^ p)~ ("~'^""^) etc. ; S^ désignant la différence d'âge entre la plus jeune et la plus âgée des têtes proposées. Ajoutez-les aux logarithmes de la ligne K, et écrivez la somme dans la ligne N ; ajoutez-les aussi aux logarithmes de la ligne I, et écrivez la somme
( 5-. ) dans la ligne 0. Cherchez ensuite les nombres correspondans aux logarithmes des lignes N et 0^, et placez-les respectivement dans les lignes? et Q. Alors si tout nombre naturel de la ligne Q, dans une colonne quelconque, est égal à la somme des nombres naturels des lignes P et Q dans la colonne précédente, toutes les valeurs obtenues jusque là sont exactes. Mais si les 5 ou 6 premières quantités de la ligne Q ne s'accordent pas avec les 5 ou 6 premières quantités de la ligne R dans la colonne précédente, c'est qu'il se sera glissé quelque erreur dans les nombres employés depuis la dernière preuve , et par conséquent il deviendra nécessaire de repasser l'opération depuis ce point-là.
41. Quoique les calculs nécessaires pour trouver de cette manière la valeur des annuités soient plus longs que l'emploi de la formule générale , on en est plus que dédommagé par la satisfaction qu'on éprouve en étant certain de l'exactitude des valeurs obtenues, et par le temps et le travail qu'on épargne en découvrant chaque erreur à mesure qu'elle se présente.
42. Si j'ai exposé avec tant de détails la meilleure méthode à suivre pour trouver la valeur des annuités sur une ou plusieurs têtes, c'est qu'il nous manque encore beaucoup de tables sur cette matière pour compléter celles que nous avons déjà ; et surtout il nous en faudrait de nouvelles, dont les unes seraient le résultat d'observations spéciales faites sur la mortalité des rentiers viagers, et les autres résulteraient d'observations générales faites dans tout le royaume.
( 55 ) Des tables ainsi construites seraient extrêmement utiles, mais on aurait tant de peine à les calculer même avec les logarithmes, qu'il est bien peu d'individus qui fussent disposés a entreprendre une tâche aussi laborieuse , même s'ils possédaient les élémens nécessaires. Malheureusement aussi , les sociétés dt)nt l'objet semble être plus particulièrement d'encourager une entreprise de ce genre, ne se trouvent pas assez intéressées à publier des documens plus positifs à ce sujet.
43. J'ai réuni à la fin de cet ouvrage toutes les tables publiées jusqu'à ce jour sur la valeur des annuités sur une ou plusieurs têtes, et le calculateur y pourra choisir celle qui conviendra le mieux au problème qu'il aura à résoudre. J'indiquerai plus au long , dans le chapitre XII, la manière dont on doit faire usage de ces tables, et les applications qu'elles présentent.
Corollaire 3.
44. Au raoj^en de la formule générale du problème , qui donne la valeur d'une annuité sur un groupe quelconque de têtes, nous pourrons déterminer celle d'une annuité différée ^ c'est-à-dire d'une annuité qui ne doit courir qu'après un nombre d'années déterminé Uy pourvu qu'alors les têtes données subsistent, et qui doit courir depuis cette époque jusqu a la dissolutiondece groupe de têtes. Soient en effet A, B, C,etc., lestétesdonnées, etsoient a, a', a". . . . , jS, /3', (i", . , . , y-» y^ y" ' • ' * f ^^c., les nombres de vivans à la fin de
Ai, 72 + I , ^i + 2 , etc. années à partir des âges de A, B, C, etc. suivant l'explication du n^ 25; alors la
valeur d'une annuité sur le groupe ABC , sera
représentée par la série suivante :
ra^'c' .... , a" b" c" .... . a''b"'c"
abc... ^^L i-hç ' (i-Hç)^^ (i+ç)'
"^"•■"^(1-+?)"^' M'+çr-^^'^C'-f-ç)"-^^ -t-etc.j
dont la première partie doit être continuée jusqu'à n termes , et la dernière (ou la portion d annuité qui est différée de n années'), doit être poursuivie jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. Par conséquent cette dernière partie, ou la série
exprimera la valeur d'une annuité dont on ne doit entrer en jouissance qu'après n années; je ladésîgnerai ^2iv{j4BC. . . .y. Or, si nous avons des tables qui indiquent la valeur des annuités sur une ou plusieurs têtes, à tous les âges, nous pourrons aisément sans calculer séparément cbaque terme de cette série, en déduire la valeur de celle d'une annuité sur un même nombre de têtes plus âgées chacune de n années que les têtes proposées. Car si l'on représente cette dernière valeur par A° B° C° . . . . nous aurons d'après la formule du problème :
( 55 ) Et en multipliant les 2 termes de cette equation par
nous aurons
^o 5° C» .... X "-S^;^ {^A-fr'=={ABC....f:
D'où la règle générale suivante :
45. Cherchezla valeur d'une annuité sur un groupe d^un même nombre de tètes, plus âgées que les têtes proposées chacune du nombre d'années dont est différée l'annuité. Cherchez aussi l'espérance que le groupe proposé a de recevoir i fr. à la fin de ce délai; le produit de ces deux quantités sera la valeur demandée.
Voyez , pour l'application de ce corollaire, la question VI du chapitre XÏI.
Corollaire 4-
46. Au moyen de la série du dernier corollaire, nous pouvons déterminer la valeur d'une annuité viagère temporaire ^ c est-à-dire d'une annuité dont on doit entrer en jouissance immédiatement, mais qui doit s'éteindre après un nombre d'années déterminé n , moindre que la durée possible de l'existence de la tête ou des têtes données. Car tout restant comme dans le dernier corollaire , il est évident que les n premiers termes de la série que nous y avons développée, ou
+ .... 4" ^ V V seront la valeur de l'annuité tem-
poraire demandée, que je désignerai par [ABC J
Or, au moyen des tables mentionnées plus haut, nous pourrons trouver aisément la valeur de cette série sans en calculer séparément les difFérens termes; car l'inspection seule de la série du dernier corollaire fera voir que la somme des n premiers termes est égale à la valeur totale de la série moins la somme de tous les termes après le //"'"% somme quia été trouvée égale à {ABC,...f. Donc la somme des n premiers termes est égale kABC..,.—- (ABC. . ./, d'où la règle suivante :
47. Trouvez la valeur d'une annuité »ur les têtes proposées , différée du nombre d'années déterminé, et retranchez cette valeur de celle d'une annuité sur les têtes proposées: le reste sera la valeur demandée.
Voyez, pour l'application de ce corollaire, la question VII du chapitre XIL
Corollaire 5.
48. Par un raisonnement semblable nous trouverons la valeur d'une annuité différée et temporaire : c'est-à-dire d'une annuité dont la jouissance ne doit commencer qu'après un nombre d'années n, et doit cesser après un autre nombre d'années (^, n -■{- v étant moindre que la durée possible de l'existence des têtes proposées. Et ce qui a été dit dans le coroU. 5 rendra évidente la règle suivante :
49. De la valeur d'une annuité sur les têtes données^ différée d'un délai n , retranchez la valeur d'une
( 37 ) annuité sur lies mêmes têtes, différée d'un délai n-^^; le reste sera la somme des ^ derniers termes de la série, ou la valeur de l'annuité demandée.
Corollaire 6. *
50. Si la jouissance d'une annuité est certaine pen-, dant un nombre d'années n, et doit dépendre ensuite de l'existence d'un nombre quelconque de têtes, sa
valeur sera exprimée par la série —j-~ +
+ (f^'^J;;'/ + (f^gr-^V +etc.]. Mais les 7zpre^ miers termes de cette s^rie,, ou
, j..tirfaf-n ->! |r ff! I
+ i—T-T. + m— ^6 + •••• + rr-.rTn sont
égaux à ^ — ^ ^ ou la valeur actuelle d'une annuité de I fr. pendant n ans; et le reste de la série est d'après le corollaire 5 égal h.{A B Ç..»,Y: d'où la règle suivante: , ^,,i ... >, ,.
51. A la valeur actuelle d*une ânnuFté certaine pendant le tems donnée ajoutez la valeur d'une annuité sur les têtes proposées, différée de ce même espace de temps; la somme sera la valeur demandée.
Voyez, pour l'application de ce corollaire, la question XXII du chapitre XII.
Corollaire 7.
52. Si, dans l'expression générale de la valeur d'une annuité sur une seule tête A, nous supposons que f
( 38) soit nul, ou que l'argenl ne porte aucun intérêt , aloFs. cette formule se réduira à la série
d'où la règle suivante, pour trouver la valeur d'une annuité sur la tête A considérée comme touchant aniruellement cette rente, et sans intérêt d argent. Divisez la somme de tous les vivans, à tousles âges consécutifs après celui de la tête donnée, par le nombre de vivans à cet âge, et le quotient sera la valeur demandée., . - r
Dans un des cliapîtres suivans, je montrerai qu'on doit ajouter ^ ou | à la valeur ainsi trouvée, pour obtenir celle d'une semblable annuité sur la tête A considérée conlme touchant la rente par semestre, ou par trimestre : mais si on la considère comme la touchant instantanément, nous devrons ajouter î^ à la valeur trouvée. Dans ce dernier cas, la valeur demandée est égale aux Sortîmes des probabilités que cette tête a d'atteindre les premier, second , troisième, .... instans depuis le moment actuel jusqu'à la fin de son existence possible; c'est ce que plusieurs auteurs ont appelé la vie moyenne , ou le nombre d'années que l'une quelconque de toutes les têtes existant -au même âge peut être considérée comme certaine iVatteindre. D'où la règle suivante pour trouver la vie inojemie.
55. Divisez la somme des nombres de vivans, à tous les âges consécutifs qui suivent celui de la tête
( 39 ) proposes, par le nombre de vivans à cet âge; ajoutez Y au quotient , et la somme sera la valeur demandée.
54. Comme nous pourrons avoir occasion de déterminer cette valeur pour comparer les probabilités de vie ou les valeurs des annuités suivant différentes tables d'observations , ou pour calculer par approximation certaines valeurs dont je parlerai par la suite, i'ai donné ici la règle par laquelle on peut trouver cette valeur d'après une table quelconque d'observations.
Mais a la table II, à la fin de ce Traité, j'ai indiqué la vie moyenne de 5 ans en 5 ans, d'après les diverses observations mentionnées au n° i5: et aux tables ÎV, XV, XXVI et XLVI, j'ai indiqué d'année en année la vie moyenne à tous les âges, d'après les observations qui précèdent immédiatç-^ ment ces tables.
