PROBLÈME VI

75. Trouver la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de têtes A, B, C , . . . . après la dissolution d'un groupe quelconque d'autres têtes PQR. ...

SOLUTION

La chance qu'une quelconque des têtes A, B, C, a de recevoir l'annuité à la fin d'une année quelconque, dépendra de l'existence de l'une d'elles, à la fin de cette année, et de la dissolution du groupe PQR. . . . , avant la fin de cette même Année. La probabilité de cet événement est , pour la première

année, [i-(i-^)x (i|:)x(i~0]

X (i ~^p^)> ^^^> multiplié par (i + y.)-', donnera la valeur actuelle de la rente de la première année. De la même manière, on trouvera que

[,-(,-Sx(.-9x(.-£)]x(.-£ç:),

X ('-t) X (-V)] X(-3|,-), multiplié •par (t + f)""^, donneront respectivement la valeur actuelle des rentes de la seconde et de la troisième aimées , et ainsi de suite pour toutes les années sùi-

vantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine ; et la somme de tous ces termes sera la valeur totale actuelle de l'annuité demandée. Mais si l'on développe et simplifie ces diverses espérances annuelles, et qu'on les dispose les unes sous les autres, comme dans les problèmes précédens , elles formeront quatorze colonnes verticales dont la somme sera trouvée égale k J -^ B+ C— JB — JC—BC'+' ABC— PQRJ— PQRB— PQRC+PQRJB ,+ PQRAC + PQRBC — PQRJBC.

74. D'où il suit que la valeur d'une annuité ea reversion, payable jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de têtes après la dissolution d'un groupe quelconque d'autres têtes, est égale à la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier dé-< ces de toutes les têtes en reversion ; moins la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la combinaison de toutes les têtes en possession avec les autres têtes une à une; plus la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la combinaison de toutes les têtes en possession avec les autres têtes deux à deux ; moins la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la combinaison de toutes les têtes en possession avec les autres têtes trois à trois, et ainsi de suite.