PROBLÈME VIL

75. Trouver la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès d'un nombre quelconque de têtes

(56) ^ A, B, C, . . . . après le dernier décès d'un autre nombre quelconque de têtes P, Q , R , , . . .

SOLUTIOISr.

D après ce qui a ëtë dit dans les problèmes prëcëdens, il est eVident que l'annuité en question doit courir jusqu'au dernier décès de toutes les têtes de'signëes par A, B, C, P, Q, R ; et Ton n aurait aucune autre chose a considërer, si les têtes A, B, C, devaient entrer immëdiatement en jouissance. Mais comme elles ne doivent rien recevoir pendant lexistence de l'une quelconque des têtes P, Q, R, on doit nëcessairement retrancher la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier dëcès de ces têtes , de la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier dëcès de toutes les têtes impliquées dans la question. Le reste sera la valeur de l'annuité demandée.

S CO lie,

76. Au moyen de ces quatre problèmes , on peut résoudre toutes les questions sur les annuités en reversion. Je lésai traités avec étendue, pour ne rien laisser à désirer, mais on verra aisément qu'ils comprennent beaucoup de combinaisons qui ne se rencontrent jamais dans la pratique , et au milieu de règles et de formules aussi compliquées, une prompte solution ne se présenterait donc pas immédiatement. Il est bien rai e que plus que trois têtes se trouvent impliquées dans des questions de ce genre : afin donc que pour résoudre ces questions on ne soit pas obligé d'avoir

(57 ) recours aux problèmes généraux, j ai réuni tous les cas possibles où il ne s'agit pas de plus de trois têtes, et j'en ai donné la solution algébrique, en conservant à A y B,P ^ Q^ la signification donnée à ces caractères dans les problèmes précédens. Ces questions sont au nombre de cinq; on peut avoir à trouver la valeur d'une annuité:

1*. Sur une seule tête A, après un autre tête P: dans ce cas, la valeur de l'annuité en reversion est

2**. Sur une seule tête A, après le dernier décès de 2 têtes P, Q: Dans ce cas, la valeur de lannuité en reversion esty^ — AP — JQ+JPQ.

5°. Sur la dernière vivante de deux têtes A, B, après une seule tête P : dans ce cas, la valeur de l'annuité en reversion ^^lA^B—AB—AP—BP^ABP.

4°. Sur une seule tête A, après la dissolution d'un groupe PQ: dans ce cas, la valeur de l'annuité en reversion est égale à A — APQ,

5°. Ou enfin sur le groupe AB, après un seule tête P : dans ce cas, la valeur de l'annuité en reversion est AB—ABP.

Voyez les exemples de cesdifFérens cas, aux questions XIII et XVII du chapitre XII.

Corollaire i.

77. Si l'annuité ne doit pas courir pendant toute l'existence des têtes proposées, mais est ou différée ou temporaire , nous devons nous référer à ce qui a été dit au prob. I cor. 5 et 4; en faisant quelques substitutions, qu'indiquera suffisamment l'énoncé du pro-

( 58 ) blènie, on appliquera la règle générale que j'y ai donnée, à la question proposée d'uiie annuité eh réversion. '*• *iOisi*K\."'. i.i tnJov^ji ii» mj ^ >

Mais cette règle peut devenir d'une application pïus facile si Ton fait usage des principes du prob. II, cor. 2 et 4' Ainsi;, dans le premier cas du scolie n" 76, si l'annuité est différée de n années, sa valeur sera

Et cette valeur retranchée de -^ — AP donnera la valeur d'une semblable annuité en re version temporaire. On résoudra de la même manière toutes les autres questions du scolie.

Voyez, pour l'application de ce corollaire, les questions XVIII et XIX du chapitre XII.

Corollaire 2.

78. Si une annuité en reversion, dont la jouissanx:e est différée d'un nombre quelconque d'années, dépend encore de l'existence simultanée de toutes les têtes à l'expiration de ce délai, sa valeur sera égale à celle d'une annuité en reversion reposant sur un même nombre de têtes plus âgées chacune que les têtes proposées d'un nombre d'années égal à ce délai,

(1) D'après la méthode de designation que j'ai employée dans tout le cours de cet ouvrage , on verra aisément que tt désigne ici le nombre de vivans à un âge plus élevé de n années que celui de P.

(59) multipliée par la probabilité que le groupe des têtes proposées a de subsister a l'expiration de ce délai, et encore par la valeur actuelle de i fr. payable à la même époque. Et Ion doit distinguer soigneusement cette question de celle qui a fait l'objet du dernier corollaire. Voyez pour l'application de ce corollaire, lescolie de la question XIX au chapitre XII.

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