PROBLÈME VUI
80. A, B, et C conviennent d'acheter une annuité payable jusqu aleur dernier décès, annuité qu'ils partageront également entre eux durant leur existence simultanée, qu'au décès de l'un deux, lesdeuxsurvivans se partageront encore également, et dont enfin le der-
(6i ) nier vivant jouira seul jusqu'à son décès : trouver la valeur de leurs quote-parts respectives, ou la proportion dans laquelle chacun d'eux doit contribuer à l'achat.
SOLUTION
Désignons, comme au n° 23 , les probabilités qu'ont les têtes proposées de subsister i , 2 , 5, . . ans ; et occupons-nous d'abord de déterminer la quote- part de A. Or , l'espérance que A a de recevoir quelque chose à la fin d'une année quelconque peut être considérée de quatre manières, comme dépendant d'autant d'événemens différens: 1° A^ B et C peuvent subsister tous les trois, événement dont la probabilité est à la fin de
la première année —v — : dans ce cas il recevra le tiers
de l'annuité, ou -j(i -i-p)*"*; donc (i+p)""* X -ô-t-
sera la valeur de cette espérance. :2* A et B peuvent être vivans, et C mort, événement dont la probabilité est pour la première année —r x (i — -^j : dans
ce cas il recevra la moitié de l'annuité , ou — ( i-^-p)-';
donc(i+p)-' X^ X (i — -^J sera la valeur de
cette espérance. 5"* A et C peuvent être vivans et B mort, événement dont la probabilité est à la fin de
la première année — X f i — 7~J' dans ce cas, il recevra également la moitié de l'annuité, ou —(i+f)"* Donc(i+f)"'* X^ X fi — -y) sera la valeur de
(63) cette espérance. l\ A peut être la seule personne vivante , événement dont la probabilité est pour la première année —xTi — 7~yX(i ); dans ce cas il
recevra l'annuité entière, ainsi
('+P)-x"^x(.-f)xO-f)
sera la valeur de cette espérance. Et la somme de toutes
ces valeurs, ou (i+p)- x (--,-^-^ + s^^t) sera la valeur totale de lespérance de A par rapport à la rente de la première année.
En raisonnant de la même manière, on trouvera que
(i+P) X (— j h "q-7 — jdesignera
^ ' ^ \a lab lac ' Zabc J ^
la valeur de son espérance pour la seconde année, et
.m ft'i'L'" n'"r"' n'''h"'r"'\
(i+P)"'^Xi 1 H^-T— ) la v^leyr de
^ ' ' '^ \a lab lac ' ôauc J
son espérance pour la troisième année , et ainsi de suite jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de tous ces termes, ou la série
( x \^x sy C^ ^ ^'^' i ^^'^' \
+ (i+pr X (^-^^--^,+ 3^;
+ etc., etc. , etc.
sera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité, ou la quote-part qu'il doit payer pour contribuera l'achat.
(65) Or la somme des diverses séries verticales est ëgak
81. Quant à la part de B ou de C, il est évident que lespérance qu'ils ont de recevoir lannuité une année quelconque , dépendra des mêmes événemens, mutatis mutandis^ que celle de A : d'où il suit qu'en faisant les substitutions nécessaires à la formule générale ci-dessus, nous aurons B — \AB — \BC-\-\AB C pour la valeur de la part de B; et C — \AC — {BC + \ AB C pour la valeur de la part de C dans l'annuité proposée : d'où la régie suivante qui s'applique à Tune quelconque des trois têtes.
82. De la valeur d'une annuité sur la tête proposée, retranchez la moitié de la somme des valeurs d'une annuité sur les deux groupes de têtes provenant de la combinaison de la tête proposée avec chacune des autres. Ajoutez au reste le tiers de la valeur d'une annuité sur le groupe des trois têtes; la somme sera la valeur demandée.
85. Exemple, Supposons que les trois têtes soient âgées de 20, 5oet4o ans; que l'intérêt soit de 4p. 100 et la mortalité conforme aux tables de Northampton. Alors si l'on consulte les tables qui sont à la fin de cet ouvrage, on trouvera que la part de chacune des trois têtes dans cette annuité sera : celle de
A=:i6,o55— ^(11,875+10,924) +^X8,986=7,65o B=i4,78i—^ (11,875+10,490) +^X8,986^6,595 C=i3,i97— ^(io,924+i8,49o)+^x8,986=5,485
(64 ) Et la somme de ces parts respectives, ou 19,710, est la valeur d'une annuité payable jusqu^au dernier décès des trois têtes, ou la valeur totale de l'achat.
Corollaire i.
84. S'il ne s'agissait que de 2 têtes , A et B , lan^ nuité devant être également partagée entre elles pendant leur existence simultanée pour appartenir en totalité au dernier vivant, la valeur de la part de A sera A — \ AB , et celle de B sera B — \ AB ; d'où la règle suivante pour deux têtes.
85. De la valeur d'une annuité sur la tête proposée, retranchez la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe des deux têtes, le reste sera la valeur demandée.
Voyez, pour l'application de ce corollaire, la question XX du chapitre XII.
Corollaire 2.
86. D'un autre côté, quel que soit le nombre des personnes intéressées dans l'achat, il sera facile de déterminer la part d'une tête quelconque, pourvu que l'annuité soit toujours également partagée entre lessurvivans. Soit en effet G la valeur d'une annuité sur la tète proposée; G' la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la combinaison de la tête proposée avec les autres têtes une à une; G" la somme des valeurs d'une annuité sur tous les groupes de têtes provenant de la combinaison de la tête proposée avec les autres têtes deux à deux, et ainsi de suite. Alors G -^ ^ G'+| G'r-^ ^ G'"+ etc.
(65) désignera la part de la tête proposée, ou la somme qu'elle doit payer pour contribuer à l'achat,
