PROBLÈME IX

87. A, B et C conviennent d'acheter une annuité payable jusqu'à leur dernier décès, annuité qui doit être partagée entre eux de la manière suivante. A et B la partageront également pendant leur existence simultanée , mais au décès de l'un d'eux , elle sera également partagée entre le survivant et C, pour appartenir enfin en totalité au dernier vivant. Trouver la valeur de leurs parts respectives.

SOLUTION

L'espérance que A a de recevoir quelque chose à la fin d'une année quelconque, peut être considérée de trois manières, comme dépendant d'autant d'événemens différens. 1°. A et B peuvent être tous deux Vivans, événement dont la probabilité est, à la fia

de l'année, — r; dans ce cas il recevra la moitié de

l'annuité. 2*. k et C peuvent être vivans, et B mort, événement dont la probabilité est, pour la première

année ^-^ X (i — -r\j d^ï^s ce cas il recevra aussi la

moitié de l'annuité. 3**. A peut être le seul vivant, événement dont la probabilité est, pour la première année, — X (i — y) ^ (-^ P dans ce cas

il recevra toute l'annuité. Et la somme de toutes ces

(66) valeurs, multipliée par (i + p)-% donnera (i + p)-*

V (2- — ^ — — -4 ^ ) pour la valeur totale

'^ \a lab lac labc J ^

de Fespérance de A par rapport à la rente de la première année.

Par un raisonnement semblable nous trouverons la valeur de son espérance pour les seconde, troisième, etc. années, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de tous ces termes, ou la série

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