etc., etc

sera la valeur totale de son intérêt dans cette annuité. Mais la somme des colonnes verticales est évidemment J^\ AB —\ AC+\ ABC:, d'où nous déduisons la règle suivante :

88. De la valeur d'une annuité sur la tête A, retranchez la moitié de la somme des valeurs d'une annuité sur les groupes AB et AC ; aj outez au reste la valeur d'une annuité sur le groupe ABC; la somme sera la part pour laquelle la tête A doit contribuer à l'achat.

89. Quant à la valeur de la part de B, il est évident que son espérance pour une année quelconque

(67 ) dépendra des mêmes événemens, mutatis mutandis ^ que celle de A; donc en faisant les substitutions nécessaires dans l'expression générale ci -dessus, nous aurons B — {AB — ^ BC -{-^ ABC pour la valeur de l'inlérêt de B dans cette annuité. D'où la règle suivante :

De la valeur d'une annuité sur la tête B, retranchez ia moitié de la somme des valeurs d'une annuité sur les groupes AB et BC, ajoutez au reste la moitié de la valeur d'une annuité sur le gîx)upe ABC; la somme sera la part pour laquelle la tête B doit contribuer à l'achat.

91. A l'égard de la part de C, on verra que son espérance pour une année quelconque peut être considérée de trois manières, comme dépendant d'autant d'événemens différens. i° A et C peuvent être vivans et B mort, événement dont la probabilité est pour

la première année —X (^"""T")? *^^"^ ^^ ^^s il

recevra la moitié de l'annuité. 2** B et C peuvent être vivans et A mort, événement dont la probabilité est

pour la premiere année -j — xfi— ■ — j; dans ce

cas il recevra aussi la moitié de l'annuité. 5' C peut être le seul vivant, événement dont la probabilité à la fin de la première année est

rx('-^)x('-r);

dans ce cas il recevra la totalité de l'annuité. Donc la

somme de ces valeurs, multipliée par (i+p)'"S

( 68 ) donnera ( i +p)-" x ('- - ^ - ^) pour la valeur totale de lespe'rance de C par rapport à la rente de la première année.

En continuant le même raisonnement, nous trouverons la valeur de son espérance pour toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de tous ces termes donnera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité, et sera évidemment trouvée égale à C — ^AC — \BC) doù la règle suivante :

92. De la valeur d'une annuité sur la tête C, retranchez la moitié de la somme des valeurs d'une annuité sur les groupes AC et BC; le reste sera la part pour laquelle la tête C doit contribuer à l'achat.

93. 'Exemple, Supposons que les trois têtes soient âgées de 20, 5o et 40 ans; que l'intérêt soit de 4 p. 100, et la mortalité conforme aux tables de Northampton. La part de chacune des trois têtes, dans cette annuité, sera : celle de

A=i6,o35—. ^(11, 875-f.io,924)-|-^X 8,986=9,1 27,

6=14,781 — ^(ii,875+io,49o)-h;X8,986=:8,o95,

et la somme de^ ces trois valeurs est celle d'une annuité payable jusqu'au dernier décès des têtes proposées.