PROBLÈME X

94. A, B et C conviennent d'acheter une annuité payable jusqu'à leui' dernier décès , annuité qui doit être partagée entre eux de la manière suivante. A et B en jouiront également pendant leur existence simultanée; si A meurt le premier, B et C se la partageront également pendant leur existence simultanée, et le dernier vivant en aura la totalité; mais si B meurt le premier, A aura pendant toute sa vie la jouissance de la totalité , qui sera reversible sur C après le décès de A. Trouver la valeur de leurs parts respectives.

SOLUTION

L'espérance que A a de recevoir quelque chose à la fin d'une année quelconque , peut être considérée de deux manières, comme dépendant d autant d'événemens différens , i**. A et B peuvent vivre tous deux, événement dont la probabilité, à la fin de la première

année . est —7- : dans ce cas, il recevra la moitié de

l'annuité; 2°. A peut être vivant et B mort, événement dont la probabilité , à la fin de la première

année, est —X (i 7) > dans ce cas, il jouira de

la totalité de l'annuité. La somme de ces deux valeurs, multipliée par ( i -f- p )—* donnera

(i + f)~* X (~ — ^ j pour la valeur totale de Tes-,

pérance de A par rapport à la rente de la pre-»lîiière aimée.

(70) En eonlinuant ce raisonnement, nous trouverons la valeur de son espérance pour toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de tous ces termes sera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité, et sera trouvée égale à A — \AB; d'où la règle suivante :

95. De la valeur d'une annuité sur la tète A , retranchez la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe AB; le reste sera la part pour laquelle A doit contribuer à Tachât.

96. Quant à la part de B, on doit observer que l'espérance qu'il a de recevoir quelque chose à la fin d'une année quelconque, peut être considérée de trois manières, comme dépendant d'autant d'événemens difTérens; i°. A et B peuvent vivre tous deux ^ événement dont la probabilité, à la fin de la première année , est — y- ; dans ce cas, il recevra la moitié de l'annuité ; 2 '. B et C peuvent être vîvans et A mort, événement dont la probabilité, à la fin de

la première armée, est y- x (i J; dans ce cas

il recevra aussi la moitié de l'annuité. 3°. B peut être le seul vivant, événement dont la probabilité,

à la fin de la première année, est — X (ï )

X (i — ~)9 ^^^^ ce <^^s il jouira de la totalité de

l'annuité. Et la somme de toutes ces valeurs, multipliée par (i + /)"', donnera

U H-FV ^\l, — :,ab ~ ihc + labc)

( 70 pour la valeur totale de l'espérance deB par rapporta la rente de la première année.

Par un raisonnement semblable, nous trouverons la valeur de son espérance pour toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de tous ces termes sera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité , et sera évidemment trouvée égale à j5 — i AB — '- BC+ i JBC, D'où la règle suivante :

97. De la valeur d'une annuité sur la tête B, retranchez la moitié de la somme des valeurs d'une annuité sur les deux groupes AB et BC; ajoutez au reste la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe ABC ; la somme sera la part pour laquelle B doit contribuer à l'achat.

98. Reste maintenant à déterminer la part de C, dont l'espérance, par rapport à une année quelconque, peut être considérée de deux manières, i®. B et G peuvent être vivans et A mort, événement dont la probabilité , à la fin de la première année , est

-^ X (i — -J; dans ce cas il recevra la moitié de

l'annuité. 2^. C peut être le seul vivant , événement dont la probabilité , à la fin de la première année, est

— X (i — ""J X V ^"""Â")' ^^^^ ^^ ^^^ ^^ recevra la totalité de l'annuité. Et la somme de ces deux valeurs , multipliée par (i + f)"*% donnera

, «, /c ac b'c ^ ab'c\

pour la valeur totale de Tesperance de C par rapport à la rente de la première année.

Par un raisonnement semblable , on trouvera la valeur de son espérance pour toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de tous ces termes exprimera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité, et sera évidemment trouvée égale à Ç — JC — ^ BC-^^ABC, D'où la règle suivante.

99. De la valeur d'une annuité sur la tête C , retranchez la valeur d'une annuité sur le groupe AC , et la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe BC ; ajoutez au reste la moitié de la valeur d une annuité sur le groupe ABC. La somme sera la part pour laquelle C doit contribuera l'achat.

100. Exemple. Supposons que les trois têtes soient âgées de 20 , 3o et 40 ans ; que le taux de l'intérêt soit de 4 P* ïoo et la mortalité conforme aux tables de Northampton. La part de chaque personne dans cette annuité sera: celle de

B=i4,78i-^x(ii,8754-io,490)-i-^x8,986=8,o95 Ci=i5,i97-io,924 — - X 10,490 +-X 8,986= 1,521

Et la somme de ces trois valeurs est la valeur d'unç annuité payable jusqu'au dernier décès des têtes proposées.