PROBLÈME XI

101. A, B et C conviennent d acheter une annuité payable jusqu'à leur dernier décès, annuité qui doit être partagée entre eux de la manière suivante. A jouira de la totalité de l'annuité jusqu'à son décès; mais à son décès elle sera également partagée entre B et C pendant leur existence simultanée , pour appartenir enfin en totalité au survivant. Trouver leurs parts respectives.

SOLUTION

L'intérêt de A dans cette annuité, ou la part pour laquelle il doit contribuer à l'achat, est évidemment égale à la valeur d'une annuité reposant sur sa tête, c'est-à-dire égale à A.

102. Quant à la part de B , son espérance par rapport à une année quelconque peut êti e considérée de deux manières. i° B et C peuvent être vivans et A mort, événement dont la probabilité à la {\n de la

première année est -j— X (i ); dans ce cas il

recevra la moitié de l'annuité. 2* B peut être le seul vivant, événement dont la probabilité à la fin de la première année est -r- X (i ) X (i — ^); dans ce

cas il recevra la totalité de l'annuité. Et la somme de ces deux valeurs, multipliée par (i-f*p)~% donnera

totale de l'espérance de B par rapport à la rente de la première année.

(74) En raisonnant de la même manière nous trouverons la valeur de son espérance pour toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de tous ces termes sera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité, et sera trouvée égale à B—AB^'jBC+\ABC i d'où la règle suivante

105. De la valeur d'une annuité sur la tête B, retranchez la valeur d'une annuité sur le groupe AB, et la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe BC; ajoutez au reste la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe ABC; la somme sera la part pour laquelle B doit contribuer à l'achat.

104. Quanta la part de C, il est évident que son espérance par rapport à une année quelconque dépend des mêmes événemens, mutatis mutandis , que celle de B. Nous trouverons donc par un raisonnement semblable que la valeur de son intérêt dans l'annuité sera égale à C—AC-^^BC+^ABC: d'où la règle suivante.

105. De la valeur d'une annuité sur la tête C, retranchez la valeur d'une annuité sur le groupe AC, et la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe BC; ajoutez au reste la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe ABC : la somme sera la part pour laquelle C doit contribuer à l'achat, (i )

(r) On voit que rintérèt de C, dans cette annuité, est le même que dans le problème précédent.

106. Exemple, Supposons que les trois têtes soient âgées de 20, 5oet 40 ans; que létaux de l'intérêt soit de 4 P 100 et la mortalité conforme aux tables de Northampton. La part de chaque personne dans cette annuité sera : celle de

A=i6,o55 = iG,o55

€^=15,197-10,924— Xio,4go+-x8^986 = i,52i 2 2

et la somme de ces trois valeurs est la valeur d*une annuité payable jusqu'au dernier décès des trois têtes.