PROBLÈME XIII. I

112. A , B et C conviennent d'acheter une annuité | leposant sur l'existence de deux quelconques d'entre eux, et qui doit être également pai^tagée entre eux tant qu'ils vivront; mais au décès de l'un d'eux

( 77 ) «lie sera également partagée entre les deux survivans pendant leur existence simultanée. Trouver la valeur de leurs parts respectives.

SOLUTION

Uesperance de A, par rapport à la rente d'une année quelconque^ peut être considérée de trois manières, i** A, B et C peuvent être tous vivans : dans ce cas il recevra le tiers de l'annuité. 2" A et B peuvent être vivans et C mort; dans ce cas il recevra la moitié de Fannuité. 5" A et C peuvent être vivans et B mort; dans ce cas il recevra aussi la moitié de l'annuité. Donc la somme de ces espérances pour les première, seconde, troisième, etc., années, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, sera la valeur totale de la part de A dans cette annuité. Mais la valeur de ces diverses espérances a déjà été trouvée dans la solution du problème VIII ; puisqu'elles sont précisément les mêmes que les trois premières dont traite ce problème; et leur somme, pour toutes les années de la vie humaine, sera trouvée égale à ^ AB--\-^AC -%ABC.

113. Quant à la part de B ou C, leur espérance par rapport à la rente d'une année quelconque dépend des mêmes événemens mutatis mutandis , que celle de A : d'où il suit qu'en faisant les substitutions nécessaires à l'expression générale ci-dessus, nous aurons ^ AB'\- ~BC — | ABC ^ pour la valeur de l'intérêt de B, et ^ ^C+i BC—\ABC^o\xx\2i valeur de l'intérêt de C dans Tannuiîé proposée; d'où

( 78 ) ]a règle suivante pour determiner la part de Tune quelconque des trois têtes données.

114. Retranchez les deux tiers de la valeur d'une annuité sur le groupe des trois têtes, de la demisomme des valeurs d'une annuité sur les deux groupes de têtes provenant de la combinaison de la tête proposée avec chacune des deux autres; le reste sera la part pour laquelle cette tête doit contribuer à l'achat.

115. Supposons que les trois têtes soient âgées de 20, 3o et 4o ans; que l'intérêt soit de 4 P* 'oo, et la mortalité conforme aux observations de Northampton. La part de chaque personne dans cette annuité sera :

celle de A==^(i 1,875-^10,924)— ^x8,986=:5,4o8 B=-(i 1, 875-1-10,490)— ^-X8,986=5,i9i C=r^(io,924-f.io,49o)— ^X8,986=4,7i6

Et la somme de ces trois valeurs, où i5,5i5 est la valeur d'une annuité reposant sur l'existence de deux quelconques des trois têtes données.