PROBLÈME XIV

116. A , B et C conviennent d'acheter une annuité reposant sur l'existence de deux quelconques d'entre eux, et qui doit être partagée entre eux de la manière suivante : A et B en jouiront en portions égales durant leur existence simultanée , mais à la mort de

(79) Tun deux, elle sera également partagée entre les deux survivans pendant leur existence simultanée; trouver leurs parts respectives.

SOLUTION

L'espérance de A par rapport à la rente d'une année quelconque peut être considérée de deux manières. 1° A etB peuvent vivre tous deux; dans ce cas il recevra la moitié de Fannuité. 2° Aet C peuvent être vivans et B mort; dans ce cas il recevra aussi la moitié de l'annuité. Donc la somme de ces espérances pour les première , seconde, troisième, etc., an-' nées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, sera la valeur totale de la part de A dans l'annuité. Mais la valeur de ces diverses espérances a déjà été trouvée dans la solution duprob. IX, puisqu'elles sont précisément les mêmes que les deux premières dont traite ce problème; et leur somme, pour toutes les années de la vie humaine, sera trouvée égale 1,1 JB-hi^C—iJBC; d'oùla règle suivante:

117. Retranchez la valeur d'une annuité sur le groupe ABC, de la somme des valeurs d'une annuité sur chacun des deux groupes AB et AC : la moitié du reste sera la part pour laquelle A doit contribuer à l'achat.

118. Quant à la part de B, il est évident que son espérance par rapport à la rente d'une année quelconque dépend des mêmes événemens, mutatis mutandis^ que celle de A : donc en faisant

les substilulioas nécessaires à l'expression générale ci-dessus, nous aurons ^jéB-^jBC — ^^BC pour la valeur de l'intérêt de B dans l'annuité; d'où la règle suivante :

119. Retranchez la valeur d'une annuité sur le groupe ABC de la somme des valeurs d'une annuité sur chacun des deux goupes AB et BC; la moitié du reste sera la part pour laquelle B doit contribuer à l'achat.

120. Mais quanta la part de C, on verra que son espérance par rapport à la rente d'une année quelconque, peut être considérée de deux manières, i"^. A et G peuvent être vivans et B mort; dans ce cas, il recevra la moitié de l'annuité; 2®. B et C peuvent être vivans et A mort ; dans ce cas aussi il recevra la moitié de l'annuité. Donc la somme de ces deux espérances, pour les première, seconde, troisième, etc. années, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , sera la valeur totale de l'intérêt de C dans l'annuité. Mais la valeur de ces espérances a déjà été trouvée dans la solution du problème IX , puisqu'elles sont précisément les mêmes que les deux premières dont traite ce problème à l'article de part de C; et leur somme, pour toutes les années de la vie humaine , sera trouvée égale k iJC+ {BC--' ABC : d'où la règle suivante :

121. Retranchez la valeur d'une annuité sur le groupe ABC de la demi-somme des valeurs d'une

( 8. ) annuité sur les deux groupes AC et BC ; le reste sera la part pour laquelle C doit contribuer à Fachat.

122. Exemple. Supposons que les trois têtes soient âgées de ^o, 5o et /^o ans, que le taux de Tintërêt soit de 4 p. «oo et la mortalité conforme aux tables de Northampton , la part de chaque personne dans l'annuité sera :

celle de A =-(11,875+10,924 — 8,986)=6,9o5 , B = ^ (i 1,873+10,490— 8,986)=6,689, C = ^(10,924+10,490)— 8,986=1,721,

et la somme de ces trois valeurs est la valeur totale d'une annuité reposant sur l'existence de deux quelconque des trois têtes proposées.