PROBLÈME XV

125. A, B et C conviennent d'acheter une annuité reposant sur l'existence de deux quelconques d'entre eux, et qui sera partagée entre eux de la manière suivante ; A et B doivent en jouir par portions égales durant leur existence simultanée; si A meurt le premier, B et C en jouiront par portions égales durant leur existence simultanée ; mais si B meurt le premier, A en possédera la totalité pendant l'existence simultanée de A et de C : trouver leurs parts respectives.

SOLUTION

L'espérance de A par rapport à la rente d'une année quelconque peut être considérée de deux ma- T. I. 6

iiières, î°. A et B peuvent être tous deux vivans, événement dont la probabilité , à la fin de la première année , est —j- ; dans ce cas , il recevra la

moitié de lannuité; 2°. A et C peuvent être vivans et B mort, événement dont la probabilité, à

la fin de la première année, est — - X 0 ""* 7" j j

dans ce cas il recevra la totalité de l'annuité. La somme de ces deux valeurs, multipliée par (i+/')""', don-

nera (i + f)- {-^0+ ^ + -^b^) P""»''^ valeurtotaie de Tespérance de A par rapport a la rente de la première année.

Par un raisonnement semblable , nous trouverons la valeur de son espérance pour les seconde , troisième, etc. années jusqu'aux dernières limites de la vie humaine : la somme de tous ces termes sera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité, et sera trouvée égale à ^ AB + AC — ABC; d'où la règle suivante :

124. Ajoutez la moitié de la valeur d'une annuité sur le groupe AB à la valeur d'une annuité sur le groupe AC ; retranchez du reste la valeur d'une annuité sur le groupe ABC ; le reste sera la valeur de la part de A.

125. L'espérance de B par rapport à la rente d'une année quelconque peut être considérée de deux manières, 1°. A et B peuvent être tous deux vivans , événement dont la probabilité , à la fin de la pre-

( 83 ) mière année, est —7-: dans ce cas, il recevra la

moitié de l'annuité; 2°. B et C peuvent être vivans et A mort , événement dont la probabilité , à la fin

de la première année , est -^ X ( i ) ; cîans ce

cas, il recevra également la moitié de l'annuité. Donc la somme de ces deux valeurs , multipliée par

(,+f)-'. donuera (,+f)-. x (g + ^;-^)

pour lespérance de B par rapport à la rente de la première aniîée.

On trouvera de la même manière la valeur de son espérance pour toutes les années suivantes de la vie humaine; la somme de tous ces termes sera la valeur totale de son intérêt dans l'annuité^ et sera trouvée égale à ^ {JB + BC— ABC) : d'où la règle suivante :

126. Retranchez la valeur d'une annuité sur le groupe ABC de la somme des valeurs d'une annuité sur les deux groupes AB et BC ; la moitié du reste sera la valeur de la part de B.

127. Quant à la part de C , on voit qu'elle n'est autre chose que la moitié de la valeur d'une annuité en reversion sur le groupe BC, après l'extinction de A ; cette annuité en re version a été trouvée égale '2i\{BC — JBC), d'après le scolie du n« 76; d'où la règle suivante :

128. Retranchez la valeur d'une annuité sur le groupe ABC, de la valeur d'une annuité sur le

groupe BC ; la moitié du reste sera la valeur de la part de C.

129. Exemple. Supposons que les trois têtes soient âgées de 20, 3o et ^o ans; que Tintérêt soit de 4 p. 100 et la mortalité conforme aux tables de Northampton. La part de chaque personne dans l'annuité sera :

celle de A = - X 11,875+10,924 — 8,986=7,874,

et la somme de ces trois valeurs sera le prix total de l'annuité proposée.

PROBLÈME XYl.

ISO. D, ou ses héritiers, aussitôt que deux quelconques de trois têtes données A , B , C , viendront à s'éteindre , doit entrer en jouissance d'une annuité qui reposera sur l'existence du survivant; trouver la valeur de son intérêt dans l'annuité.

SOLUTION

L'annuité est évidemment payable jusqu'au dernier décès des trois têtes proposées; et sa valeur , s'il n'y avait aucune condition restrictive, serait, d'après le problème II, égale à A + B-\'C — AB y— AC — 30+ ABC\ mais puisque D, ou ses

(85 ) héritiers, ne doit rien recevoir durant l'existence simultanée de deux quelconques de ces têtes, on devra retrancher de l'expression précédente la valeur d'une annuité reposant sur cette existence simultanée de deux têtes , c'est-à-dire , d'après le problème III , JB+ JC+BC—2JBC, Donc, J + B--\^ C

— 2AB — 2AC — 2BC+ ^ABC sera U. valeur demandée; d'où la règle suivante :

131. De la somme des valeurs d'une annuité sur chacune des têtes , considérée isolément , retranchez deux fois la somme des valeurs d'une annuité sur chaque groupe de deux têtes; ajoutez au reste trois fois la valeur d'une annuité sur le groupe des trois têtes : la somme sera l'intérêt de D dans cette annuité , ou la valeur de la reversion demandée.

132. Exemple. Une propriété repose sur trois têtes âgées de 20 , 5o et 40 ans; et aussitôt l'extinction de deux d'entre elles, D, ou ses héritiers, en touchera les revenus jusqu'à l'extinction de la troisième tête; trouver l'intérêt de D dans cette annuité, la mortalité étant conforme aux tables de Northampton, et le taux de l'intérêt étant de 4 P- i<^o.

La somme des valeurs d'une annuité sur chacune des trois têtes, est i6,,o55 + 14^7^1 + i^?*97 = 44>Oïi ; la somme des valeurs d'une annuité sur chaque groupe de deux têtes, est 11,875+ 10,924 + 10,490= 55,287, ^* ^^ valeur d'une annuité sur le groupe des trois têtes est, 8986. Donc 44?o 11

— 2 X 55,287 + 5 X 8,986 = 4,595 sera la valeur demandée.