PROBLÈME XVII

155. D, OU ses héritiers, aussitôt qu'une quelconque de trois têtes données A, B, C, viendra à s'éteindre , doit entrer en jouissance d une annuité et en jouir jusqu'au dernier décès des deux têtes survivantes. Trouver la valeur de son intérêt dans l'annuité.

SOLUTIOIV,

Il est évident , dans ce cas aussi , que l'annuité est payable j usqu'au dernier décès des trois têtes proposées; et telle en serait la valeur par rapport à D, ou à ses héritiers, s'il devait en jouir immédiatement. Mais comme il ne doit rien recevoir avant la dissolution du groupe des trois têtes , on devra retrancher la valeur d'une annuité reposant sur ce groupe , de la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès des trois mêmes têtes, afin d'obtenir la valeur demandée. Donc J + B + C — AB — AC--- BC J^jiBC—ABCz=zA+B + C^AB—JC-'BC sera la valeur de son intérêt dans l'annuité ; d'où la règle suivante :

154. De la somme des valeurs d'une annuité sur chaque tête isolée, retranchez la somme des valeurs d'une annuité sur chaque groupe de deux têtes , le reste sera la valeur de l'intérêt de D dans l'annuité, ou la reversion demandée.

155. Exemple. Supposons que les trois têtes soient âgées de :2o, 3o et /^o ans, que l'intérêt soit de

C87 ) 4 p. lOo et la mortalité conforme aux observations de Northampton. Dans ce cas la valeur demandée sera i6,o55 + 14,781 + i5,.97 — (11,875 -h 10,924 + 10,490)= 10,724.

Corollaire.

156. S'il ne s'agissait que de deux têtes A et B , la valeur de l'intérêt de D dans l'annuité serait , d'après le même raisonnement, trouvée égale h A '{- B — :t.AB\ d'où la règle suivante :

137. De la somme des valeurs d'une annuité sur chaque tête isolée , retranchez la double valeur d'une annuité sur le groupe des deux têtes; le reste sera la valeur demandée.

Voyez, pour l'application de ce corollaire, la question XXI du chapitre Xïl.