PROBLÈME XVIII

158. D, ou ses héritiers, aussitôt que l'une des trois lêtes A, B, C, viendra à s'éteindre, entrera en jouissance d'une annuité dont il jouira jusqu'au premier décès des deux survivans ; trouver la valeur de son intérêt dans l'annuité.

SOLUTION

Dans ce cas , l'annuité repose sur l'existence simultanée de deux quelconques des têtes proposées; et telle en serait la valeur par rapport à D, s'il devait entrer en jouissance immédiatement ; mais comme il ne doit rien recevoir avant la dissolijïtion du groupe

(88) des trois têtes, on de\ra retrancher la valeur d'une annuité reposant sur ce groupe de la valeur d'une annuité reposant sur l'existence simultanée de deux quelconques des têtes proposées. Donc AB -{-AC +BC—^ABC—ABC=AB+AC+BC—'^ABC sera la valeur demandée ; d'où la règle suivante :

159. De la somme des valeurs d'une annuité sur chaque groupe de deux têtes, retranchez trois fois la valeur d'une annuité sur le groupe des trois têtes ; le reste sera la valeur demandée.

140. Exemple. Supposons que les trois têtes soient âgées de 20, 3o et 40 ans, que l'intérêt soit de 4 p» 100 et la mortalité conforme aux tables de Northampton. Dans ce cas la valeur demandée sera i 1,873+ 10,924+ 10,490 — 3x8,986=6,329.

Scolie.

141. Les problèmes précédens contiennent plusieurs des questions de survivance les plus générales qui n'impliquent pas plus de trois têtes; je n'ignore pas qu'il peut s'en présenter beaucoup d'autres , puisque les conditions de ces problèmes admettent une variété infinie; mais j'ai pensé que si l'on étudie attentivement la méthode que nous avons suivie pour résoudre ceux que nous avons discutés, il ne sera plus difficile de répondre aux autres questions qui pourraient se présenter.

142. Je dois cependant ici faire observer que dans tous ces problèmes les résultats se rapportent à la

durée entière de l'existence des têtes sur lesquelles repose l'annuité; mais si, d'après les conditions du problème, la chance qu'on a de recevoir l'annuité était différée ou temporaire y les résultats devraient aussi être affectés de la même manière. Nous devrions alors substituer les valeurs de semblables annuités , différées ou temporaires , aux valeurs des annuités pour toute la durée de l'existence, et opérer sur ces valeurs substituées comme nous la vous fait sur les autres. {Voyez d ailleurs, à ce sujet, les coroll. 2 et 4 du probl. II; et le coroll. i du scolie n° 76. )

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