CHAPITRE V

DES ANNUITES EN REVERSION QUI DEPENDENT D5UN ORDRE PARTICULIER DE SURVIVANCE.

14'5. Au nombre des questions d'annuités en reversion qui n'embrassent pas plus de trois têtes, et qui sont exposées dans le scoîie du n" 76, il s'en trouve deux qui impliquent souvent une circonstance à laquelle il est très difficile d'avoir égard d'une manière précise et exacte dans les formules algébriques. Ce sont la seconde et la troisième de ces questions, et la circonstance dont nous parlons ici est que l'une des deux têtes en particulier, P ou Q, meure avant ou après l'autre.

Comme les raisonnemens qui conduisent à la solution de ces deux questions seront d'une importance considérable dans la suite de cet ouvrage, je consacrerai un chapitre entier à Texamen de ce sujet. La solution de ces problèmes eux-mêmes conduira à quelques autres questions sur les survivances qui, devant être appuyées sur les premiers, n'ont pu trouver place dans le chapitre précédent.

144. Au lieu des têtes A, P, Q, dont je me suis servi dans le scolie cité plus haut, prenons les têtes x\, B, C , et supposons que B et C soient les têtes en

( 9' ) possession et A la tête en re^>ersion, La vaieur d une annuité en reversion sur la tête A après le groupe BC est égale sl A — ABC; mais si A ne doit jouir de l'annuité que si B meurt le premier y il est évident que cette restriction réduira considérablement la valeur de l'annuité.

Quand les deux têtes en possession ont le même âge , ou à peu de chose près, il y a chance égale pour chacune d'elles de mourir avant ou après l'autre; mais comme il n'en est pas toujours ainsi, il serait extrêmement à désirer que l'on pût obtenir une expression propre à Tusage général qui donnât cette probabilité pour chaque année de la vie humaine, puisque l'espérance qu'on a de recevoir la rente de chaque année dépend de cette probabilité. Malheureusement elle ne peut être représentée par une quantité constante qu'après l'extinction de la plus âgée des deux têtes ; car la chance de survivance varie d'année en année jusqu'à cette époque : et même alors nous ne pouvons en trouver la valeur que par approximation. Quand la différence d'âge des têtes en possession n'est pas grande, on ne commettra pas une erreur sensible, comme je l'ai observé tout à l'heure , en supposant qu'il y ait chance égale pour chacune des deux têtes de mourir avant ou après l'autre, pendant la durée possible (i) de leur existence

(i) On doit entendre par durée possible , la plus grande durée possible de l'existence des têtes proposées Quand il s*agit d'une tête seule, cette durée est le nombre d'années compris entre son a^e et la limite de la table d'observations.

siniultatiëe; mais quand cette diflërence est considérable, on ne saurait opérer ainsi sans inexactitude. Passé ce terme, cependant, la chance demandée peut, dans tous les cas, être appréciée d'une manière assez correcte. Mais avant de discuter les problèmes qui résultent de cette question, il sera nécessaire d'exposer les deux lemmes suivans.