LEMME I

145. Déterminer la probabilité que de deux têtes données A et B, l'une en particulier A, a de mourir avant l'autre.

SOLUTION

Il est évident que cette circonstance peut se réaliser dans une année quelconque, i°. ou par la mort de A dans cette année, B n'ayant pas cessé d'exister, 2'. ou par l'extinction des deux têtes dans cette année , A étant mort le premier. La probabilité du premier événement est , pour la première année , d'après les

n*'24 et 25, -^^— ^ T'^ ^* ^^ probabilité du second

Quand il s'agit d'un groupe de tètes ou de l'existence simultanée, ou du premier décès de plusieurs têtes (toutes ces expressions ont la même signification), cette ànïée possible est le nombre d'années compris entre i'âge de la plus vieille des têtes proposées et la limite de la table d'observations ; enfin , quand il s'agit du dernier décès de plusieurs têtes, cette duiéa possible est le nombre d'années compris entre Tâge de la plus jeune des têtes proposées et la limite des tables. {Ps'otc du traducteur.)

(93) événement est , pour le même laps de temps , ^^-^-~i

X - — 7 — - X - fi) •• la somme de ces deux valeurs on ^^""^^ — , ^ — - sera la valeur totale de la proba-

(i) Dans le calcul de toutes ces probabilités annuelles, j'ai suppose' que la chance que A a de mourir avant B soit toujours e'gale à ' , quelle que soit la différence d'âge ; cette supposition ne devient vraiment exacte que quand les deux têtes ont le même âge ; mais comme dans la discussion qui nous occupe je n'ai tenu compte de cette chance que pour chaque année isolée, et que d'ailleurs, dans la pratique, les autres quantités avec lesquelles elle se combine corrigent une grande partie de l'erreur qui résulte de cette supposition , il serait inutile de rendre la solution plus compliquée et plus difficile pour obtenir un plus grand degré d'exactitude. On verra cependant, d'après cette remarque, que le résultat obtenu ne donne la valeur demandée que par approximation ; mais il approche de plus en plus de la véritable valeur à mesure que Von continue la série.

Quand A est la plus jeune des deux têtes, la fraction ^ excède la chance que A a de mourir avant B , et par conséquent, la valeur de \^ , trouvée au moyen du lemme , excédera la vraie valeur de la probabilité que A a de mourir avant B , dans une période quelconque de leur existence simultanée. D'un autre côté , quand A est la plus vieille des deux têtes , la chance que A a de mourir avant B est supérieure à ^ , et par conséquent -vL sera dans ce cas moindre que la vraie valeur de la probabilité que A a de mourir avant B , dans le même laps de temps. On pourra d'ailleurs , dans les cas particuliers qu'on aura à résoudre , prendre en considération la différence d'âge des têtes proposées, quand elle se trouvera trop sensible.

(94 ) bilitë que la tête A a de mourir la première des deux têtes données , dans la première année.

De la même manière, la probabilité du premier

événement, pour la seconde année, est -^ j-^ — ,

et celle du second événement est, pour le même temps,

^ . donc la somme de ces deux va-

leurs, ou -. ■ sera la valeur totale de la

probabilité que la tête A a de mourir la première

des deux têtes dans la seconde année. Et si Ton

ajoute cette valeur à celle que nous venons de trouver

1 - '1 {a^a)X{b+b') pour la premiere année , la somme ou ^ —j- — - — -

+ — i sera la probabdite que A a de

mourir avant l'autre tête dans l'espace de deux années.

Par un raisonnement semblable on trouvera que

^ — — — désignera la probabilité entière

que A a de mourir avant l'autre tête dans la troisième année; et cette valeur, ajoutée à celle que nous venons de trouver pour deux ans, donnera

(a^a') X jb+b') (a'--a") X jb'^ b") (a"-a"')X {b"-^b"') lab lab *" lab

pour la probabilité que cet événement a de se réaliser dans l'espace de trois années.

On opérera de même pour toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine;

(95) et si nous appelons n la diftërence entre Tâge de la plus vieille des têtes proposées et l'âge que les tables d'observations marquent comme la (i) limite de la vie humaine, nous trouverons que la série

Q.ab lab

lab . . . . -f- ^^^

exprime la totalité de la chance que A a de mourir avant B pendant cette période. Mais cette série, réduite et simplifiée, est égale à — vX \{cl — a') {b-\-b')

X(a'-a") {b'+b") («"-«'") {b"+b-^.. . (ce -a) (^,+^)], dont je représenterai la valeur par ^ ; donc 4 exprimera la probabilité que A a de mourir avant B durant la période possible de leur existence simultanée ; les problèmes suivans en montreront les applications.

146. Pour trouver la valeur numérique de cette série pour des têtes de difFérens âges, mais dont la différence d^âge serait la même, il serait plus commode de commencer par le dernier terme, (a^ — a), (j8^+/3); et de calculer Tun après l'autre chaque terme de la série jusqu'à ce qu'on fiit arrivé aux âges des têtes

(i) On doit entendre par limite de la vie humaine, non pas le dernier âge auquel se trouvent encore un ou plusieurs vivans , mais celui auquel le nombre de vivaus est égal à o ; cet âge est évidemment supérieur d'un an au premier. ( Note du traducteur.)

(96) proposées, comme nous l'avons fait pour trouver la valeur numérique des annuités (i;o;^ez prob. I, cor. 2) Cette méthode abrège considérablement l'opération nécessaire pour trouver la probabilité de survivance entre deux autres têtes, dont les âges auraient la même différence que ceux des têtes proposées; car les derniers termes de la série seront les mêmes dans les deux cas.

147. Exemple, Soit proposé de trouver la probabilité que la tête A a de mourir avant la tête B, plus âgée de 10 ans; en se servant des tables générales de Suède. Le tableau suivant indiquera l'opération à faire pour trouver ces valeurs pour des âges quelconques.

Age de A.

8" etc.

Age deB.

etc.