LEMME II

152. Determiner la probabilité que de deux têtes données A et B, l'une en particulier A, a de mourir après l'autre.

SOLUTION

Il est évident que cette circonstance ne peut se réaliser la première année que par l'extinction des deux têtes, A mourant le dernier; la probabilité de cet

événement est x — r — X i (i); expression que

pour des raisons que j'exposerai plus tard, je ferai

effale a ^—7 — -.

^ a lab

Mais dans la seconde année et les suivantes, la circonstance proposée peut s'accomplir 1* par l'extinction des deux têtes dans le courant de l'année , A mourant le dernier; 2° par le décès de A dans l'année, B étant mort dans une des années précédentes. La probabilité du premier de ces événemens pour la

seconde année est ^ —. , et la probabilité du

second est X ( i — ~r)y ^^^^ ^^ somme de

, . a'— a" («' — û") {b' + b") ces deux expressions ou ^ .

désignera la probabilité totale que A a de mourir après B dans la seconde année; et cette expression ;ijoulée à celle que nous venons de trouver pour la

(i) Vojez la note de la page 92.

( lOI )

première année, donnera

û-V (a— a) jb-^b') a'^a' jd-'a") {b' -^ b" ) a lab a 7.ab

pour la probabilité que A a de mourir après B dans Tespace de deux années.

De la même manière, la probabilité du premier

événement pour la troisième année est ~^ -,

et la probabilité du second — — X (ï — t-) ; la somme de ces deux expressions, ou

c^'-^a"' {a"—a'"){b"-^b"') a lab

désignera la probabilité totale que A a de mourir

après B dans la troisième année; et cette expression,

ajoutée à la valeur que nous venons de trouver pour

deux ans , donnera -, H

' a lab a

{c^^a") jb'-^b") a"-'a"' __ (a"— a") {b"-\-b"')

Q.ab a *iab ^ "

la probabilité que A a de mourir après B dans l'espace de trois années. On raisonnera de même pour tous les années suivantes; et si nous appelons n la différence entre l'âge de la plus vieille des têtes proposées et la limite de la table d'observations, on

trouvera que la série f 1 + . . . .