ab lab
exprime la chance totale que A a de mourir après B durant cette période; c'est-à-dire jusqu'au terme nécessaire de leur existence simultanée.
Mais la première partie de cette série , ou
<2 ' « ' a ' et
est évidemment égale à =i — — ; c'est-à-dire
égale à la probabilité que la tête A a de mourir dans cette période ; et la dernière partie de la série , est d'après le lemme précédent, égale à 4^ donc la valeur demandée pour n années sera représentée par
Corollaire.
155. Si Ton retranche la somme d'un nombre quelconque de termes de la série ci-dessus, de la probabilité que les deux têtes ont de s'éteindre dans l'espace représenté par ce nombre de termes, le reste sera la probabilité que B a de mourir après A dans ce laps de temps. Conséquemment si l'on retranche la somme de la série entière , de la probabilité que les deux têtes ont de se s'éteindre en n années, ou de
('-3 x('-0='-^ -?(■). le reste ou (■-S- D - 0-^-4) = 4-f expri-
(i) Puisqu'il est certain que l'une ou l'autre des têtes sera
ab
«y8 éteinte à la fin de n années , il s'ensuit que la quantité -v qui
résulterait de ce produit, s'annulera dans tous les cas.
( io5 ) mera la chance que B a de mourir après A dans cette
période.
Corollaire.
154. Quand les deux têtes sont du même âge, 'vf, devient {, comme nous l'avons dit au corollaire s du lemme précédent; conséquemment la somme des termes de la série qui nous occupe se trouvera aussi égale à \.
S colle.
155. Afin d'éviter la confusion dont nous avons parlé dans le scolie de la page 98, je désignerai les diverses probabilités de survivance qui ont fait l'objet de ce lemme et qui peuvent se rencontrer entre deux quelconques de trois têtes A, B, C, par les caractères suivans :
La probabilité pour que A meure après B= i — ^f.
A C=: I (ZS-
D'où il suit , d'après le corollaire 1, que
la probabilité que B a de mourir après A = '\{, — j
156. On devra remarquer ici que les expressions ci-dessus désignent les diverses probabilités de survivance pour n années seulement, ou jusqu'au terme nécessaire de l'existence simultanée des deux têtes, et ont été obtenues sans qu'on ait tenu compte d'un
âge plus avance. Quand donc A est la plus âgée des deux têtes, l'expression générale du lemme devient égale à I — 4 ? parce que et devient o, et que par
conséquent la fraction - s'annulle. Mais quand A est
la plus jeune des deux têtes, cette expression ne désignera plus la totalité de la probabilité que A a de mourir après B, puisque A peut ne mourir que postérieurement à la limite de l'existence de B. Pour déterminer cette probabilité à 1 égard des années suivantes, on devra continuer la série du leoime jusqu'à la limite de l'existence de A, et on trouvera ainsi que les probabilités que A a de mourir après B en (^+1), (^2 + 2), (^ + 5).... années seront representees respectivement par i — •^ ,
a, , cl
I — 4 , I — 4^ , etc. 5 jusqu'à la limite
de l'existence de A, époque à laquelle l'expression devient i — -X.
De la même manière, quand B est la plus âgée des deux têtes, la probabilité que B a de mourir après A devient égale à %j/ ; mais si B est plus jeune que A,
l'expression générale ^ — 7 désignera la probabilité
de cet événement pour n années seulement , ou jusqu'au terme nécessaire de l'existence simultanée des deux têtes. Et les probabilités du même événement pour(Ai+i), (?2-f-2J, (72 + 5), etc., années seront
représentées respectivement par -^ — 7"? 4' — 7~» 4/ — 7-, etc., jusqu'à la limite de l'existence de B^
( >o5 ) époque a laquelle l'expression devient égale à >[/. Les mêmes observations s appliquent aux autres quantités données ci-dessus.
