PROBLÈME XIX

157. Trouver la valeur d'une annuité en reversion sur la tête A, après le dernier décès de deux têtes B et C, à condition que B meure après C.

SOLUTION

La chance que A a de recevoir l'annuité à la fin d'une année quelconque , dépendra de la continuation de son existence à la fin de ce terme , et de l'extinction, avant ce même terme, des deux têtes B et C, mais avec la condition restrictive que B meure le dernier. C'est cette condition qu'il est très difficile de représenter d'une manière propre à l'usage général. Dans le court espace d'une année , comme je l'ai fait observer plus haut (note de la page 92) , on ne commet pas une erreur sensible en prenant la moitié du produit des probabilités que les deux tètes ont de s'éteindre dans ce laps de temps 3 mais quand le nombre d'années et la différence entre les âges des deux têtes sont considérables, ces chances diffèrent dans la même proportion , et par conséquent , à moins que quelque autre circonstance en sens contraire ne diminue ou ne corrige Terreur , le résultat qu'on obtient en. supposant ainsi les chances égales , devient extrêmement inexact.

158. Si l'on représente par y, y", j'"^ etc. les probabilités du décès de B après celui de C, en un^

( io6 ) deux, trois, etc. ans, trouvées par la méthode du lemme II, les espérances que A a de recevoir l'annuité à la fin de ces divers laps de temps , seront représentées avec un degré suffisant d'exactitude par

' / Il II u> w

-7~\i -TT-Ta) "T^-T » etc. Mais dans ce cas la

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vraie valeur de l'annuité ne pourrait être exprimée par moins de n séries différentes ; et par conséquent cette méthode ne peut convenir à l'usage général.

159. On sait, d'après ce qui a été dit plus haut, que la probabilité qu'une tête a de mourir avant ou après une autre y diffère à chaque année de leur existence simultanée , et qu'on ne peut la représenter par une quantité constante qu'après l'extinction de la plus vieille des deux têtes. Mais après cette époque, l'espérance que A a de recevoir l'annuité à la fin d'une des années suivantes, peut être déterminée au moyen des lemmes précédens avec un degré suffisant d'exactitude.

Il ne resterait donc plus à trouver qu'une expression approximative qui indiquât la valeur de la probabilité que B a de mourir après C , pendant chacune des années de leur existence simultanée. Représentons par X cette expression (dont la valeur sera plus loin le sujet de nos recherches : voyez n° 175) ; alors la valeur de l'annuité en reversion, dépendant de la condition énoncée dans le problème, se déterminera de la manière suivante*

160. Il est évident que le paiement de l'annuité à la fin d'une année quelconque, dépend de la conti-

( 107 ) uuation de l'existence de A à la fia de cette année, et de l'extinction avant ce terme des deux têtes B et C, B étant mort le dernier; les probabilités de ces événemens pour les première , seconde , troisième, etc. années , sont respectivement désignées par

^(i — VJV — r"y^^ ^^^' ^^ consequent, la somme des espérances que l'on a de recevoir l'annuité à ces diverses époques, sera pour les n (i) premières années, représentée par la série suivante :

au a c . ab i

ll-t-fj >^y^\a ab ac ^ abc )

161. I" CAS. Soit A la plus vieille des trois têtes. Il est évident que dans ce cas la série ci-dessus exprimera la totalité de la valeur de l'annuité en reversion demandée; puisqu'à la n'""^ année la tête A. s'éteint, et tous les termes suivans de la série s'évanouissent. Or la série ci - dessus est égale à

(i) J'observerai ici, une fois pour toutes, que dans ce problème et les suivans j'appellerai n le nombre d'années compris entre l'âge de la plus vieille des têtes propose'es , et la limite d€ la table d'observations : par conse'quent la valeur dew sera diiFérente dans les trois cas qu'embrassent ces problèmes.

( 'o8 ) Xi^A-^AB — AC+ ABC) , c'est-à-dire égale à la valeur d'une annuité en reversion sur la tête A après le décès des deux têtes B et C, multipliée par la chance que B a de mourir après C.

162. IP CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la série ci-dessus désignera la valeur des n premières années de l'annuité en reversion, n désignant maintenant la différence entre l'âge de B et la limite de la table d'observations : et sa somme sera trouvée égale à x(-^' — AB — {ACy + ABC). Car si l'on continue jusqu'à n termes seulement la première et la troisième colonne verticale de cette série, la somme de leurs termes sera, d'après le problème I, corollaire 4> représentée exactement par les caractères que je viens d'employer, et la deuxième et la quatrième colonne verticale désignent évidemment la totalité de la valeur d'une annuité reposant sur ces combinaisons respectives de têtes, puisque dans la n'^"" année la tête B s'éteint et tous les termes suivans s'évanouissent.

Maintenant, pour déterminer l'espérance qu'on a de recevoir les rentes des années de vie qui restent à la tête A , on devra observer que le paiement de l'annuité, une année quelconque, dépend de la continuation de l'existence de A à la fia de cette année , et de la probabilité que B a de mourir après C avant la fin de celte année. Mais la probabilité que B a de mourir après C , avant la fin de la (w-|- i)""" année et de toutes les suivantes, est représentée (d'après le scolie du lemme II ) par la quantité constante

( 1^9 ) (i — (p) (i). Done la somme des espe'rances que l'on a de recevoir les rentes des (az+ i)'"% (/z -(- 2)"% (/^ + 3J'"% etc. années, sera representee par la série

\ . ' , H — , , '^^ -h ■ , , 'rr, + etc. , qui , con- ^(i+f) «(i+c) «(»-f-c) ' ^ '

tinuee pour toutes les années suivantes de la vie de A , donnera la vraie valeur de toutes les rentes à recevoir après la ji'""" année. Or la somme de cette série est, d'après le problème I, corollaire 5, égale à (i — (p) X -^^ expression qui, étant ajoutée aux n premiers termes des diverses colonnes verticales ci-dessus, donnera pour la valeur totale de l'annuité, dans ce cas % [Jl— JB — {JCy+JBC] + (i — <p) X ^'^. Mais puisque J':=J — J^, et que {ACyz=zAC — {ACf^ comme on le voit d'après le problème I, corollaire 4> il s'ensuit que cette valeur sera plus convenablement exprimée par. . . X{A — AB—AC+ABC) + {i — (p—X)x.A'+X

X (Acy.

163. IIP CAS. Soit C la plus vieille des trois têtes. La valeur des rentes des n premières années (n désignant maintenant la différence entre l'âge de C et la limite de la table d'observations), sera dans ce cas, comme dans le précédent, représentée par les n termes de la série du problème, dont la somme

(i) Parce que dans Texpression générale, /3 devient égale à o quand B est la plus vieille des têtes proposées , et qu'en con-»

séquence la fraction - s'évanouit.

( no ) sera maintenant égale à x[^' — {-^^J — AC'\'ABC\. Car si Ton continue jusqu'à n termes la première et la seconde colonnes verticales, la somme de ces termes sera exactement représentée par les caractères que je viens d'employer; mais les deux dernières colonnes verticales désignent évidemment la totalité de la valeur d'une annuité reposant sur ces combinaisons respectives de têtes , puisque la tête C s'éteint dans la 7z'""' année.

Or, pour déterminer l'espérance qu'on a de recevoir les rentes des années de vie qui restent à A , on devra observer que les probabilités que B a de mourir après C, en (72-|-i), (72+2), (/2-|-5), etc. années, sont, d'après le scolie du lemme II, représentées respectivement par fi — (p — 7"y>

(^1— (p— ^^, ^i— (p— y^, etc.; donc, puisque

le paiement de l'annuité dans une année quelconque dépend de la continuation de l'existence de A à la fin de cette année , et du décès de B après celui de C, avant cette même époque, il s'ensuit que si l'on mul-

tiplie respectivement ces valeurs par —, — , — > etc.

[ou les probabilités que A a de vivre à la fin des (w+i)"", (/2-j-2)'"% (/z+5)"", etc. années], les produits seront les probabilités que l'on a de recevoir les rentes de ces années respectives. Et ces produits étant encore multipliés par la valeur actuelle de i fr. payable à la fin de ces années respectives, donneront les espérances qu'on a de recevoir les rentes de ces

années, et formeront ia série suivante :

+ etc. etc. etc.

Mais la somme de ces deux colonnes verticales , continuées jusqu'aux dernières limites de la vie de A, est, d'après îe problème I, corollaire 5 , égale à (i — (p) ^ A^ — {ABYf expression qui, étant ajoutée aux n termes des diverses colonnes verticales trouvées plus haut, donnera pour la valeur totale de l'annuité, dans ce cas, y^/i'-^^ABJ—AC+ABC] + ( I — (p) X ^'^ — (^ABy^ expression qui , d'après ce qui a été dit au cas précédent, peut être plus convenablement exprimée par X (^ — ^B — AC+ABC) + (I - (p-o-x) X A'~{i —X) X {ABy.

164. Si les deux têtes en possession ont le même âge , celui de B , alors cp et % deviennent tous deux égaux à ^, et les quantités {ABf et {ACf s'évanouissent. Dans ce cas, l'expression devient donc \ [A — iAB-{-ABB) c'est-à-dire est égale à la moitié de la valeur d'une annuité en reversion sur la tête A, après le dernier décès de deux têtes égales B etB.

Et si les deux têtes en possession étaient du même âge que la tête A en reversion , l'expression deviendrait \[A — 2AA -f- AAA).