PROBLEME XX

165. Trouver la valeur d'une annuité en reversion sur la tête A , après la dissolution du groupe BC , à condition que B meure avant C.

SOLUTION

Le paiement de l'annuité' à la fin d'une année quelconque dépend de l'existence de A à la fin de cette année, et de l'extinction de B avant celle de C, antérieurement à la même époque. Comme cette dernière condition ne peut être représentée exactement pour toutes les années de la vie humaine , il devient nécessaire , comme dans le dernier problème, d'avoir recours à une expression approximative pour le nombre d'années que les têtes proposées ont la chance de subsister simultanément.

Soient donc les mêmes caractères que dans le dernier problème , et considérons le paiement de l'annuité pendant les n premières années , comme dépendant chaque année de l'un des deux événemens suivans, i*. A peut subsister à la fin de l'année, et B et C être morts antérieurement , B étant mort le premier; 2°. B seulement peut être mort, et A et C subsister tous deux à la fin de l'année. La probabilité du premier événement est, pour la première

année , — T i — 'îj\} — 7)^^ — ^) ( 0? ^t ^^ probabilité

(1) Puisque ^ désigne la chance que B a de mourir après C pendant chaque année de leur existence simultanée , il s'ensuit que I — ^ désigne la chance que B a de mourir awint C dans le même temps.

^ ( ii5) du second ^i — ^)~-; done la somme de ces deux expressions, re'duite à sa plus simple expression et multipliée par ( i + f )-', donnera ( i + ^ )-»

^ U ab~ U ^~âb—-:^ — -ah^)y^\ P^"^

la valeur totale de lespérance qu'on a de recevoir la rente de la première année. En raisonnant de la même manière, nous trouverons les espérances qu'on a de recevoir les rentes des années suivantes , et la somme de toutes ces espérances , pour les n premières années, sera représentée par la série suivante :

^ ^^^ L« ab \a ab ^ ac ^T^TJ^J

\a ab \a ab ac ^^ abc ) J

L« ab \a ab ac ^ abc ) J

L^ ab \a ab ac abc J J

166. r*^ CAS. Soit A la plus vieille des trois têtes. Il est évident que dans ce cas la série ci-dessus exprimera la totalité de l'annuité en reversion demandée, puisque dans la w'""^ année la tête A s'éteint et tous les termes suivans de la série s'évanouissent. Or dans ce cas, la série ci-dessus est évidemment égale à A — AB — x{A—AB~AC-^ABC),

167. IP CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la série ci«dessus exprimera la valeur des n premières années de l'annuité en reversion, et la

somme en sera trouvée égale à A' — JB — % [A* — JB — [ACy-^-ABC]. Dans les années suivantes, la chance qu'on a de recevoir l'annuité dépendra de la continuation de Texistence de A, et de la probabilité que B a de mourir avant C; la valeur de l'annuité pour les années suivantes sera donc représentée par la série

(b<£ , (pet . (pec" . .

Donc la valeur totale de l'annuité demandée sera A^AB—x {A—AB—AC^ABC) — {i—cp—x)

X A'-x{AC)\

168. lir CAS. SoitCla plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la série ci-dessus désignera aussi la valeur des n premières années de l'annuité en reversion, et la somme en sera maintenant égale à ^'— - (ABJ — % {A'—{ABy—AC+ABC)i et la valeur des années suivantes de l'annuité sera véritablement exprimée^ comme dans le dernier cas , par (p A^. Donc la valeur totale de l'annuité demandée sera A — AB — % ^-JB^AC+JBC)-{i—'p—x) X A'-\-[i—x)

X {ABy.

Corollaire.

169. Quand les deux têtes en possession ont le le même âge, celui de B^ alors cp et % deviennent, comme dans le corollaire du dernier problème, égaux chacun à I, et les quantités {A By et {ACy s'évanouissent; donc la valeur de l'annuité en reversion est exprimée dans ce cas par i (A — ABB),

Et quand les deux têtes en possession sont du

(ii5) même âge que la tête A en reversion, cette expression devient égale à ^ {A — AAA).

Scolie.

170. Si Ton ajoute la valeur trouvée pour l'un des trois cas de ce problème à celle trouvée pour le cas correspondant du problème précédent , la somme sera égale à A — AB. Donc, si l'on a une fois déterminé la valeur de l'annuité dans l'un des cas du problème précédent, on trouvera aisément la valeur de la même annuité pour le cas correspondant du problème actuel (pourvu que les trois têtes conservent les mêmes âges) en retranchant la première valeur de A — AB , et réciproquement.

Cette règle est presque évidente en elle-même, car si l'on réunit les deux conditions des deux problèmes, on verra que A est certain de jouir de l'annuité après le décès de B, pourvu qu'il subsiste à cette époque. Par conséquent la somme des valeurs trouvées par les deux problèmes doit dans tous les cas être égale à la valeur d'une annuité en reversion sur la tête A après le décès de B. Ainsi la vérité de ce scolie ressort évidemment de l'inspection seule des conditions des deux problèmes.