PROBLÈME XXI
171. B et C possèdent en commun une annuité, qui, si B survit à C, doit être également partagée entre A et B pendant leur existence simultanée, pour appartenir en totalité au survivant jusqu'à son décès. Trouver la valeur de l'intérêt de A dans cette annuité.
SOLUTION
Puisque A ne doit rien recevoir si C survit à B , il est evident qu'il a droit à la moitié d'une annuité en reversion sur le groupe AB après l'extinction de C, et encore à la totalité d'une annuité en reversion sur sa seule tête, après l'extinction de B, pourvu que B meure après C. La première valeur est d'après le scolie du n« 76, égale à ^ {JB — ABC), et la seconde peut être trouvée au moyen des formules du problème XIX, selon que la plus vieille des trois têïes est A , B ou C. De là on déduira aisément les valeurs suivantes, pour chacun de ces trois cas :
Quand A est la plus vieille des trois têtes, la valeur demandée serax(^—^(7) + (^ — X) X {AB^-ABC).
Quand B est la plus vieille des trois têtes, elle sera X {A- AC) + (i-x) X {AB-ABC) + ( , -<p-x) ^A'+x(.ACy.
Quand C est la plus vieille des trois têtes, elle sera
X{A-AC) X a -X) X {^B^ABC)+{i-(p^x) xA'^{i—XXi^By.
Quand les deux têtes en possession ont le même âge^ celui de B, elle sera ^ (A — AB). Et quand toutes les têtes ont l'âge de A , elle sera égale à i (A'-AA).
Scolie général.
172. Il ne reste plus à déterminer que la valeur de X pour obtenir la solution de ces trois problèmes; et si les chances qu'une des têtes a de mourir avant ou après l'autre dans chacune des années de leur existence simultanée, étaient dans un rapport cons-
(■•7) tant, il n'y aurait plus aucune difFicultë. Mais puisque cette chance, d'après la mortalité réelle^ varie continuellement, nous devons recourir à un calcul approximatif pour trouver la valeur moyenne de ce rapport.
175. Or, après un nombre suffisant d'épreuves, j'ai reconnu que la valeur de X peut, quand B est la plus jeune des deux têtes B et C, être représentée
1, ... , (l — (p) 6-/3 ^ (l — Ûi)c
avec assez a exactitude par ^^ — -~~ — , et par ^ — -^-^
quand C est la plus jeune des deux têtes B et C. Quoique ces deux valeurs ne soient pas sti^ictement correctes, elles conduisent à un résultat plus rapproché de la vraie valeur de l'annuité en reversion, que celui obtenu en égalant généralement}^ à * quels que soient les âges B et de C , et nous pouvons en ("aire usage jusqu'à ce qu'on ait trouvé plus exactement la vraie valeur de %. Mais si l'on obtenait par la suite une expression plus exacte de celle valeur, elle n'apporterait aucun changement à la solution générale des trois problèmes , puisque nous pouvons donner à % toutes les valeurs possibles.
Je vais maintenant exposer quelques exemples qui indiqueront l'application de ces diverses formules.
174. Exemple i. Quelle est la valeur d'une annuité sur la tête A, âgée de 6o ans, après la tête B, âgée de 40 ans, à condition que B meure après une autre tête C âgée de 20 ans : on suppose que l'intérêt soit de 4 p- 100 et la mortalité conforme aux tables de Northampton.
(ii8)
Nous aurons ici A = 9,039, AB = 7,490, ACz^jyg(^5, ABC=::6,j22, et x = 0,595. L'annuité en reversion demandée sera donc dans ce cas égale à 0,276 X 0,595 = 0,109.
Mais si B avait 20 ans et C 40 ans , nous aurions %=o,6o5 et par conséquent l'annuité demandée serait dans ce cas égale à 0,276 X o,6o5 = 0,167.
De la même manière , si A avait 20 ans, B 60 et C 4o, nous aurions A = i6,o55, AB = 7,995, AC:= 10,924, ABCz=iQ,^2i, « = 57, x=:o,554, et (p = 0,7 1 1 8. Par conséquent la valeur de l'annuité serait dans ce cas 5^856 x o,554 — 0,067 + 0,026 = 1,517. Et si B avait 40 ans et C 60, sa valeur serait trouvée égale à 2,519.
175. Quelle est la valeur d'une annuité sur la tête A âgée de 60 ans , après la tête B âgée de 40 ans, pourvu que B meure as>ant une autre tête C âgée de 20 ans. On suppose que l'intérêt soit de 4 P- 100, et la mortalité conforme aux tables de Northampton.
Nous aurons ici ^ — ^j5= 9,059 — 7,490=1,549* par conséquent 1,649 — 0,109= i, 44^ sera d'après ce qui a été dit au scolie du n° 170, la valeur de l'annuité en re version pour le cas proposé. Et si A avait 20 ans et C 60, cette valeur serait égale à 5,109—2,519=2,590.
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