PROBLÈME XXII

178. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable à la (in de l'année dans laquelle un nombre quelconque de têtes viendra à s'éteindre.

SOLUTION

Supposons dans la discussion actuelle qu'il ne s agisse que d'un groupe de trois têtes ABC , dont le^ prohabilites d'exister i, 2, 5, . . . ans, soient expri-

niées comme au n° 24, et représentons la somme désignée par s. Or la valeur actuelle de cette somme , si Ton était certain de la recevoir dans un an , serait ^(i + f)~' ; mais comme lespérance qu'on a de recevoir cette somme à la fin de cette année dépend de la dissolution du groupe proposé dans cette année, événement dont la probabilité est — ^r ,

on devra multiplier par cette probabilité ia valeur ci-dessus, ce qui donnera i^(i-|-p)~* x -,

pour la valeur de l'espérance de la première année. De la même manière, la valeur actuelle de la somme proposée, si l'on était certain de la recevoir après deux ans, serait ^(i + p)~*; mais comme l'espérance qu'on a de recevoir cette somme à la fin de la seconde année, dépend de la dissolution du groupe dans cette année , événement dont la probabilité est

-, , on devra multiplier par cette probabilité la valeur ci-dessus, ce qui donnera ^(i-f-p)""* X T pour la valeur de 1 espérance de la

seconde année.

De même encore on trouvera que i^ ( i -f- f )~^

a 0 c — a oc , , -% ^i ' i i

X T^ sera la valeur de 1 espérance de ia

troisième année , et ainsi de suite pour toutes les années suivantes de la vie humaine : la somme de ces valeurs sera la valeur totale actuelle de la somme proposée.