Mais la somme de ces quantités, réduite à
sa plus simple expression , est égale aux deux séries suivantes :
la première de ces séries est égale à j-^-. {\+ABC)y
et la dernière à ^ x ABC. Donc la valeur totale actuelle demandée devient
et quoique cette question soit restreinte au cas de trois têtes , il est aisé de voir que cette méthode de solution est générale et s'applique à un nombre quelcpnque de tètes : d'où la règle suivante :
180. Multipliez la valeur dune annuité sur les tê^ proposées , par le taux de l'intérêt, et retranchez le produit de l'annuité; divisez le reste par le produit du placement de i fr. après un an, et le quotient , multiplié par la somir"^ proposée, sera la valeur demandée.
Vpjez , pour l'application de ce problème , la question XXVII du chapitre XII.
Corollaire, i.
181. Dans ce problème, j'ai considéré la valeur actuelle du capital assuré , comme dépendant de la dissolution du groupe de têtes proposé dans une année quelconque de leur existence simultanée. Mais
si Tassurance est différée de n années, c'est-a-dîre si nous voulons déterminer la valeur actuelle d'une somme payable à la dissolution de ce groupe, pourvu que cet événement n'ait lieu qu'après un délai fixé, la formule éprouvera un changement important. Car, en suivant la même marche que dans le problème , on trouvera que l'espérance qu'on a de recevoir la somme proposée à la fin des (^24-1)'"% («+2)"'% (72+5)"'% etc. années, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , sera représentée par la série
V'^-y ^^^y , o^^y — ^ ^ y . <g jS y — •<« /s y . H
qui, pour plus de commodité, peut se diviser en deux autres,
La seconde de ces séries est, d'après le problème I, corollaire 5, égale à — s {ÂBCY; et la première
est égale à ^ X ; — : — ^ ; la valeur de-
mandée est donc égale à ^ X d'où la règle suivante (i) :
(iH-f)
(i) Puisque {ABCY est, d'après le prob. I, coiol. 3, e'gal h J^'B^C" X ^ (i + p)"% il' est évident que la valeui de-
182. Multipliez la valeur d\ine annuité différée sur les têtes proposées , par le taux de l'intérêt ; retranchez le produit de l'espérance que les têtes proposées ont de recevoir i fr. a la fin du délai fixé , et divisez le reste par le produit du placement de i fr. après un an. Le quotient qui en résultera étant multiplié par la somme proposée donnera la valeur demandée.
Voyez pour l'application de ce corollaire, la question XXVIII du chapitre XII.
Corollaire 2.
185. Mais, si l'assurance est temporal j^e^ c'est-à-dire si nous voulons déterminer la valeur d'une somme payable à la dissolution du groupe proposé, pourvu que cet événement ait lieu dans les limites d'un délai fixé n^ on en trouvera la valeur en ajoutant les /^ premiers termes de la série donnée dans le problème. Cette valeur sera donc désignée dans ce cas par la série
rabc—a'b'c' a'b'c'—a"b"c" a"b"c"—a«'b"'c"' ctfi^y^^afiy-}
' ^ l abc (i-i-f) "^ abc{i+p)* "^ abc-{i-{.f,y "*" -■ ajc(i+p}« J '
qui pour plus de commodité peut se diviser en deux
mandée, dans le cas d'une seule tête ou d'un groupe de plusieurs têtes, peut être plus commodément exprimée par
1 — eJ°B°C°u/3y , . , „ , , ri
s X 7^ ^ 7— (i -r e) ' et c est de cette lormule
-^ (i + ç) abc ^ ^ ^r
que j'ai déduit la règle de la question XXVIII duchapilre XII. Mais celte règle ne s'étend pas à tous les cas.
autres
abc L(i+ç) (i+çr "^(w=d^'^-'--^i+7rJ' ^^'^
la première de ces series estëgaleài" x ^+^"^^^^'Z . ^j)
et la seconde à ^ {ABCy-, la valeur de l'assurance temporaire demandée peut donc être représentée par la formule s [iilg^-l — {ABCfX
Mais puisque {ABCJ-^ + J!^égale {ABCJ,
d'où l'on tire {ABCy-'z:=z (^ABCy— ^x(i4-p)-";
et puisque d'après le prob, I. cor. 4, {ABC)' est égal à ABC — {ABCf; nous pouvons rendre la formule ci-dessus plus propre à l'usage général en remplaçant (^j9C)' par cette valeur: elle deviendra donc égale
d'où la règle suivante :
184. De la valeur actuelle de l'assurance payable à l'extinction des têtes proposées, retranchez la valeur actuelle de la même assurance différée du délai fixé ; le reste sera la valeur demandée.
Voyez pour l'application de ce corollaire, la question XXIX du chapitre XIT.
(i)Ce nouveau caractère {ABCy-' désigne la valeur d'une annuité temporaire sur le groupe y^Z? 6' pendant (« — i) années.
Corollaire 3.
185. Quoique dans la discussion de ce problème je n'aie considère que le cas où il s'agit d'un groupe de trois têtes, il est cependant facile d'appliquer le même raisonnement lorsqu'il s'agit d'une seule tête quelconque, ou d'un groupe quelconque d'autres têtes, ou de la dernière vivante des têtes proposées, etc. Il suffira pour obtenir les valeurs demandées 5 de substituer la valeur d'une annuité reposant sur cette tête, ou sur ce groupe de têtes, etc. à la quantité représentée par ^J5C dans la formule du n" 179.
186. La même observation s'appliquera aussi aux deux corollaires précédents, si , outre la substitution dont nous venons de parler, nous remplaçons aussi par la valeur d'une semblable annuité, différée du délai désigné, la quantité {^ABCy des formules n' 181 ou 183. Mais ici on devra spécialement observer que quand une assurance différée ou temporaire dépend du dernier décès des têtes proposées ,
la quantité —^(i+f)""" dans la formule donnée doit
désigner l'espérance que la dernière vivante de ces têtes a de recevoir i fr. à la fin du délai fixé; et que, quand l'assurance dépend de l'extinction de deux quelconques de trois têtes proposées, la même quantité doit désigner l'espérance que deux quelconques de ces trois têtes ont de recevoir i fr. à la fin du délai, etc. etc.
Voyez pour l'application de ce corollaire, les questions XXVII, XXVIII et XXIX du chapitre XII.
