PROBLÊME XXIII

187. Trouver la valeur d'une annuité qui commencera à courir à la fin de Tannée dans laquelle s'éteindra une combinaison quelconque de tètes.

SOLUTION

Supposons, comme dans le problème précédent, que le question n'embrasse qu'un groupe de trois tètes ABC, et que l'annuité proposée soit une rente perpétuelle ou une propriété foncière. Or, la chance que l'héritier de cette propriété a d'en toucher la rente à la fin d'une année quelconque dépend toujours de la dissolution du groupe de têtes avant la fin de cette année. La probabilité de cet événement est

, .^ , / ab'c\ pour la premiere année ( i y— J , expression qui

multipliée par ( i +p)"'' donnera l'espérance de la première année. De même la probabilité que le groupe de tètes a de se dissoudre avant la fin de la seconde

année est ( i r — J, expression qui multipliée par

(ï-{-p)~* donnera l'espérance de la seconde année.

multipliée par (i+p)""' désignera l'espérance de la troisième année; et ainsi de suite jusqu'à l'infini: puisque la propriété est perpétuelle de sa nature. Donc la somme de toutes ces valeurs continuées indéfiniment sera la valeur totale actuelle de la propriété dont on doit jouir après la dissolution du

( 1^8) groupe ABC , ou en d'autres termes sera la somme qu'on aurait à payer aujourd'hui pour s'assurer la juissance de cette propriété après la dissolution de ce groupe de têtes.

188. Mais la somme de tous ces termes est égale aux deux séries suivantes :

(i+ç) "*" (i+çr "^ (i-f ç)^"^ • ... 00

T- X ( 7 T + 7 — r-Ta + ; — r— 7^ + etc. ). La preuve'^ \(i-hç)^(i-f-ç)^ ^ (i+ç)^ ^ y ^

mière de ces séries est égale à -, ou la valeur actuelle

d'une annuité perpétuelle de i fr. , et la seconde doit se terminer à l'extinction de la plus âgée des trois têtes, et est conséquemment égale à la valeur d'une annuité sur le groupe ABC. Donc la valeur totale de

l'annuité demandée est égale à ABC; et quoique

cette solution ne s'applique qu'au cas d'un groupe de trois têtes, il sera cependant facile d'employer le même raisonnement pour une combinaison quelconque de têtes : de là la règle suivante :

189. Retranchez la valeur d'une annuité reposant sur les têtes données , de la valeur actuelle de l'annuité ou de la propriété en question; le reste sera la valeur demandée.

Voyez pour l'application de ce problème, la question XXVI du chapitre XII.

Corollaire i.