PROBLÈME XXVI
215. Supposons qu'une personne achète moyennant une somme s un tenement viager constitué sur un nombre quelconque de tètes A, B, C, . . . . , à condition qu'elle ou ses représentans auront la facnlté den renouveler continuellement la jouissance en payant à chaque décès une prime p; trouver la valeur actuelle du^ prix total de cette alienation»
SOLUTION
Soient ^ ^ B, C, etc. les valeurs respectives d'une annuité sur chacune des têtes A? B, C, . . . . en possession, et soient (i) ^% y^", A^, .... les valeurs respectives d'une annuité sur chacune des têtes A% A*, A^, que nous supposons devoir succéder directement à A. De la même manière, soient B\ B*, B^,. . . . les valeurs respectives d'une annuité sur chacune des têtes B', B*", B% que nous supposons devoir suc-
(i) Ou doit prendre <^arde de se me'prendre sur la signification de ces indices, dont l'objet est seulement de de'signer Tordre dans lequel doivent se succéder les têtes, et nullement leur âge r eh Iff.
cedor dii LctemetU à B, et ainsi de suite pour les têtes qui doivent succéder à C, D. . . . Cherchons d'abord à dëterniiaer la valeur actuelle de toutes les primes c|u on aurait à payer à l'extinction de la tête A et de celles qui doivent lui succéder directement.
Or, la valeur actuelle de la prime p payable an décès de A, à quelque époque de Tannée quil ait lieu, peut, dans ce cas, être assimilée à la valeur actuelle d'une rente annuelle de /?./> dont on entrerait en jouissance au décès de A, valeur qui, d'après le problème XXïil , est trouvée égale à
P^ (^ ■"- ^) =Ki — r^). Si , dans cette formule ,
nous substituons à ^ la valeur actuelle de l'annuité sur les deux têtes , successives A , A', qui, d'après
le problème XXIV , es^^ trouvée égale à
•^rf-^'(i + f>A), nous aurons /?(i—^^ijx(i--/^^y) pour la valeur actuelle de la prime à payer au décès de A'. Et si, dans la même formule, nous substituons à J la valeur actuelle de l'annuité sur les trois têtes successives A, A% A% qui, d'après le dernier problème , est trouvée égale à ^ + ^' ( r -> ^^ ^ + ^\i — fA) X (i— p^'), nous aurons p[^\—^A) X (i — fA') X (i — f^O pour la valeur actuelle de la prime payable au décès de A% et ainsi de suite pour toutes les primes suivantes payables à l'extinction des têtes qui succéderont à A. La somme de toutes ces quantités, ou la série p[(i fA)-^
(i — fA') + jusqu'à l'infini] est la valeur actuelle de toutes les primes qui doivent être payées
<îe temps en temps , pour renouveler le bail avec les diverses têtes qui doivent succéder à A.
En raisonnant de la même manière, on trouverait que la série /)[(i — f5) +(i — P^) X (t — f-i^')^- (i — fB) X (i — P^') X (i — P^') -h . . . . jusqu'à l'infini ] désigne la valeur actuelle de toutes les primes qui doivent être payées de temps en temps pour renouveler le bail avec les diverses têtes qui succéderont à B, et ainsi de suite pour toutes les autres têtes C, D. . . . , et celles qui leur succéderont : la somme de toutes ces différentes séries , ou
p[(i^P^) + (i-M) X (i~p^O+---^] + K(i-f^) + (i-f^) X (i~f^O +. .. .00 ] + P[(i-pO+(i— fO X(i-fC')+....^] -{- etc. etc. etc.
sera la valeur totale actuelle de toutes les primes que le tenancier aura jamais à payer; et cette expression ajoutée à s donnera la valeur totale payée pour cette aliénation.
Corollaire i .
214. Si Ton suppose que les têtes avec lesquelles le bail est renouvelé à chaque décès, soient toutes égales entre elles ou du même âge que A', l'expressioa générale ci-dessus devient
pii - pA)[i+ (i — pA') 4- (i — tA')* + (i - pA>)^ +. . . . 00 ] + ^(T-pB)[t+(i-fA')-l-(i— fA')« + (( -pA')î-f-.... ce] 4.7p(i-pC)[i + (i-.pA0 + (i-pA')« + (i-pA')'+.... 00] etc. etc. etc.
( i45) Etpuisque (i ) [i+(i-f^')+(i-p-^')*+('/-^')4--..-=o ] est égal à -p-, la somme de toute la série devient
expression dans laquelle n désigne le nombre de têtes sur lesquelles est constitué le tenement : d'où la règle suivante :
215. Divisez le nombre de tètes par le taux de l'intérêt, et retranchez du quotient la somme des valeurs respectives d'une annuité sur chacune des têtes en possession; divisez le reste par la valeur présumée d'une annuité sur la tête d'un âge moyen avec laquelle on renouvelle le bail à chaque décès : le quotient étant multiplié par la prime paj'able à chaque renouvellement sera la valeur totale actuelle de tous les renouvellemens à venir; et si l'on ajoute ce produit à la somme donnée en premier lieu , on aura la valeur totale de l'acquisition.
216. Exemple. Supposons qu'une personne ait payé looo fr. pour l'acquisition d'un tenement viager reposant sur trois têtes dont les âges sont 3o, 5o
(i) On doit savoir que = i -f-x-j- a:" -f-x^ -{-.... oo :
donc en remplaçant x par (i — Ç^)i ^^ aura--^ égal à U
série donnée dans le texte.
T. I. lo
( 146 ) et 70 ans, à condition qu a rextinctlon de Tune d'elles elle aura la faculté de renouveler continuellement le bail avec une autre tête quelconque à son choix, moyennant le paiement d'une prime de 600 fr. : quelle est la valeur actuelle de toutes les primes qu'on doit ainsi payer en renouvellement; l'intérêt étant supposé à 5 p. 100 et la mortalité conforme aux observations de M. Deparcieux?
Ici, nous aurons A z=: 14,693 , B =z 11, 565, C = 6,o55, 72 == 5 , p = o,o5, /? = 600, et A' ( ou la valeur d'une annuité sur la tête que la table désigne comme ayant le plus de chances (1) de longévité) = i6,2i5. Par conséquent,
sera la valeur actuelle de toutes les primes, et cette quantité ajoutée aux 1000 fr. payés à l'entrée en jouissance donnera la valeur de celte acquisition.
Corollaire 1. ,-
217. Quand toutes les têtes en possession sont du même âge que A, la formule du corollaire précédent
devient égale à —-i ( ^) Mais si toutes les têtes.
(i) C'est toujours la valeur présumée de A', d'après ce qui a été dit n° 205.
( 147 ) aussi bien celles qui sont en possession que celles qui doivent être désignées par la suite, sont égales entre elles et du même âge que A', la valeur actuelle de tous les renouvellemens à venir sera égale à
Corollaire 3.
218. Si l'on multiplie par le taux de l'intérêt la valeur actuelle trouvée dans Tun des corollaires précédents, on verra de quelle quantité se trouve augmenté le revenu annuel du propriétaire, en raison des primes payées à chaque renouvellement.
Ainsi dans l'exemple donné au n° 217, on trouvera que 1052.097 X o,o5 = 5i,6o5 est la somme dont se trouve augmenté le revenu du propriétaire, en raison de ces primes.
Corollaire 4.
219. Puisque la somme payée au commencement du bail , ajoutée à la valeur actuelle de toutes les primes qui doivent être payées en renouvellement, est égale à la valeur totale de la propriété ou à la perpétuité de son revenu, (=r); c'est-à-dire,
puisque s + ^^- — A — B — C — etc. J= r; il s ensuit que Pj ou la prime qui doit être payée à chaque
renouvellement, sera égale à —
!?-.^ — ^ — C — etc.
d*oii la règle suivante :
220. Retranchez la somme que le tenancier a donnée au commencement du bail de la valeur totale de la propriété , multipliez le reste par la valeur présumée d'une annuité sur la tête d'un âge moyen avec laquelle le bail est supposé renouvelé à chaque décès; et réservez ce produit. Divisez le nombre de têtes sur lequel le bail est maintenant constitué par le taux de l'intérêt, et retranchez du quotient la somme des valeurs d'une annuité sur chacune de ces têtes; si l'on divise par ce reste le produit réservé, on aura la somme qui devra être payée comme prime à chaque renouvellement.
221. Exemple. Supposons qu'une personne ait acheté pour looo fr. le tenement d'une propriété dont le rapport serait estimé loo fr. par an, et que ce tenement soit constitué sur trois têtes, avec faculté de renouveler continuellement le bail à l'extinction d'une de ces têtes par le paiement d'une prime constante ; quel devra être le montant de cette prime pour que l'intérêt ressorte à 5 p. lOo? On suppose que les têtes sur lesquelles la propriété est maintenant constituée soient âgées de 5o, 5o et 70 ans, et que la mortalité soit conforme aux observations de M. Deparcieux.
Ici nous aurons r, ou la valeur du revenu perpétuel de la propriété, = 2000, s = 1000, et les
( '49) autres quantités comme dans l'exemple du n* 217. Consëquemment la valeur de la prime devra être
222. Si la propriété repose sur une tête seulement, sa valeur actuelle, par rapport au propriétaire, sera
dans tous les cas, exprimée par p x — ^^- Or i/n-
médiatement après le paiement d'une prime, la tête en possession est égale à A', et l'expression , dans ce
cas, devient p x — 'ir'f ^^ immédiatement avant le
paiement d'une prime, la tête en possession étant venue à s'éteindre, l'expression, dans ce cas, devient/? X -^r
Mais puisque la valeur actuelle de la première prime à payer est toujours exprimée par p[{ — fA), nous pourrons aisément déterminer la valeur que représente cette propriété pour son propriétaire, ou la valeur de toutes les primes payables en renouvellement, au moyen de la règle suivante :
225. Divisez la valeur actuelle de la première prime à payer par le produit du taux de l'intérêt multiplié par la valeur d'une annuité sur la tête d'un âge moyeu avec laquelle on renouvelle le bail ;i chaque décès; le quotient sera la valeur demandée.
224. Exemple. Supposons que le tenancier d'une propriété ainsi constituée paie à son propriétaire une prime de looo fr. à son entrée en possession, et que chaque successeur en fasse autant : quelle est la valeur actuelle du tenement par rapport au propriétaire en supposant que les tenanciers successifs aient environ 25 ans à l'époque de leur admission, que Tintérét soit de 5 p. loo et la mortalité conforme aux tables de Northampton,
Ici nous aurons ^'=15,567, /»=o,o5, et/?= 1000. Conséquemment la valeur demandée immédiatement avant la réception d'une prime sera égale à
looox — ^ » ^r- = i474>i6. Et immédiatement
après la réception d'une prime , elle sera égale à
I — o,o5x 13,567 / / /- T»* • • 1 A. lOooX F c.-^^ — - = /^y/^,io. Mais si la tête aujourd'hui en possession avait 70 ans, nous aurions ^ = 6,025 ; dans ce cas, la valeur de toutes les
prmiesserait 1000 X ^ — -^^ — = io5o,22.
^ o,o5xi3,5o7 '
Donc si le tenancier donne 5ooo fr. pour l'entrée en bail, la valeur totale de l'achat sera, dans ce dernier cas, estimée a 60 5o fr.
Corollaire 6.
225. Si le tenement est constitué jusqu'au dernier décès dun nombre quelconque de têtes (c'est-à-dire à condition que lorsque toutes ces tètes seront éteintes le bail pourra être renouvelé avec le même nombre
( «5. ) de têtes et aux mêines conditions, en payant la prime designée), puisque toutes les têtes peuvent dans ce cas être ramenées à une seule, les formules du dernier corollaire exprimeront encore la vraie valeur du tenement pour son propriétaire^ il suffira de faire A égal à la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de toutes les têtes en possession , et ^' égal à lavaleur présumée d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de toutes les têtes avec lesquelles on renouvellera le bail à chaque exh'nciion de têtes en possession.
226. exemple. Supposons qu'un tenement repose sur deux têtes, avec cette condition qu'à Textinction de ces deux têtes il puisse être renouvelé avec deux autres têtes (les plus avantageuses qu'on pourra trouver) au moyen du paiement d'une prime de 5oo fr., et ainsi de suite à perpétuité : quelle est la valeur actuelle que représente ce tenement pour le propriétaire, l'intérêt étant supposé à 5 p. loo et la mortalité conforme aux tables de Noithampton?
Ici nous aurons A^ (ou la valeur d'une annuité payable jusqu'au dernier décès de deux têtes, toutes deux âgées de 8 ans) =17,721, f:=o,o5, et/?=5oo; donc la valeur demandée immédiatement avant la réception d'une prime sera
5oo X — ^ = 5^8,58ï,
et immédiatement après la réception d'une prime, elle sera 58, 58 1. Mais si les têtes sur lesquelles repose
( >50 le tenement étaient actuellement âgées de 4o et 60 ans, la valeur demandée serait
ou si la plus âgée de ces têtes était décédée, elle serait
3oo X ^- — - = 1 38, 102.
227. D'après les principes qui viennent detre exposés, il serait facile de déterminer s'il est plus avantageux au tenancier ou au propriétaire de remplacer immédiatement chaque tête qui vient à s'éteindre , ou d'attendre qu'il y en ait deux ou plusieurs décédées avant de renouveler le bail.
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