DES ASSURANCES QUI DEPENDENT D UN ORDRE PARTICULIER DE SURVIVANCE
228. Le sujet de ce chapitre est cerfainement un des plus compliqués de toute la Théorie des Annuités, puisqu'il implique des conditions pour lesquelles il est très difficile de trouver une expression concise et en même temps exacte. Quand il s'agit seulement de deux lêtes, les calculs ne sont pas très laborieux, et Ton peut obtenir assez facilement une solution convenable; mais quand la question embrasse trois îêles ou davantage, les calculs sont de plus en plus compliques, et souvent même il devient impossible d'obtenir une valeur exacte. Ces derniers cas, qui sont aussi nombreux que ceux pour lesquels nous pouvons trouver des solutions correctes, ressortent du sujet que nous avons déjà traité dans le cliapit. V, et se présenteront, pour la plupart, vers la fin de ce chapitre; nous pourrons cependant approcher de leur vraie valeur au moyen des deux lenimes des n°' 14ûi et 152, comme on le verra plus distiiutemrnt par l,t suite.
J'observerai ici que je n'ai considéré aucun des cas où il s'agit de pins de trois têtes; ces questions sont si rares qu'on perdrait son temps à établir des règles générales sur ce sujet : d'ailleurs il faudrait des volumes pour les traiter convenablement. %
Pour éviter d'inutiles répétitions, je préviens le lecteur, une fois pour toutes, que je représenterai toujours par s la somme proposée, et les probabilités de vivre comme au n° 23. Les formules algébriques que nous obtiendrons suffiront au calculateur exercé pour en déterminer la valeur numérique; mais elles sont trop compliquées pour que je les aie traduites en forme de règles.
229. J'observerai en outre que j'ai fait usage des caractères y^', B', C , pour désigner les valeurs d'une annuité sur une tête plus âgée d'une année que les têtes respectives A , B ou C; et des caractères ^4^, B^y C^, pour désigner les valeurs d'une annuité sur une lête plus jeune d'une année que les têtes respectives AJ, B ou C. Conséquemment quand les caractères A'* y B'° ou C" se présentent, ils désignent les valeurs d'une annuité sur une tête plus âgée de n années que les têtes respectives A', B', ou C; c'est-à-dire sur une tête plus âgée de (^z -f- i) années que les têtes respectives A, B ou C.
Les mêmes observations s'appliquent aux caractères A °, Z?^^, C°, qui désignent respectivement les valeurs d'une annuité sur une tête plus âgée de n années que A^ B^ ou C^ , c'est-à-dire sur une tête plus âgée de {ji — ]) années que A, B ou C. Cette
(.55) remarque s'étendra aussi au cas où ces tètes sont considérées conjointement avec un nombre quelconque d'autres têtes; ainsi A'B désigne la valeur d'une annuité sur un groupe de têtes composé de B et d'une tête plus âgée que A d'une année ; A'BC la valeur d'une annuité sur un groupe de têtes composé de B, de C et d'une autre tête plus âgée que A d'une année, et ainsi de suite.
PROBLEME XXVIl.
250. Déterminer la valeur actuelle d'une somme payable au décès de A, pourvu que de deux têtes données A , B , celte tête A soit la première qui s'éteigne.
SOLUTION
La chance qu'on a de recevoir la somme à la fin d'une année quelconque dépendra de l'un de ces deux événemens, i°. ou A mourra dans le courant de cette année, et B existera à la fin de cette même année ; 'A°, ou les deux têtes mourront dans le courant de cette année , A étant mort le premier. La probabilité du premier événement est, pour la première
année , ~ — , et la probabilité du second évé-
nement est, pour le même temps, ^ ^ -,
donc CCS deux valeurs, ajoutées ensemble et multi-
( .56 ) pliëes par ^(i+f»)""', ou la valeur actuelle de la somme proposée, si l'on était certain de la recevoir
à la fin de Tannée, donneront - ( ' + P )~* X
(ab ab' ab . ab'\ , , i ,, ^ \ pour ia valeur de 1 espérance
qu'on a de recevoir cette somme à la fin de la première année. De la même manière, puisque la probabilité du premier événement est, pour la seconde
année, ^ ■ , et la probabilité du second évé-
nement pour le même temps, ^ j •% il
s'ensuit que la somme de ces deux expressions, multipliée par ^(i -(-/)~* donnera la valeur de l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. Par un raisonnement semblable , nous pourrons trouver la valeur de l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année , et ainsi de suite pour toutes les autres années, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, et la somme de toules ces valeurs annuelles, ou la série :
s . , ,, / ab au au . ab \
-f- etc. , etc. ,
«iera la valeur totale actuelle du capital .?, dépendant des circonstances ci-dessus.
( ■-'57 ) 23i. Mais, la soniaie des deux premières de ces séries verticales (indépendamment du multiplicateur
commun -) est, d après le problème XXII , égale a : la troisième sera trouvée égale a ...
— \ — ^—^ X - > et la dernière à AB X — • Consé-
qiiemment, la valeur totale actuelledu capital proposé sera égale à
Comme dans les problèmes suivans on aura souvent recours à cette formule , il sera plus commode de la désigner par une expression plus simple; supposons donc qu'elle soit représentée par-^^, c'està-dire désignons par A^ la valeur actuelle de i fr. , payable aux conditions énoncées dans le problème; conséquemment, s X A^ sera la valeur actuelle du capital proposé, dépendant des mêmes circonstances.
Corollaire i .
252. Après avoir ainsi trouvé la valeur actuelle de la somme proposée, payable si B survit à A, on trouvera aisément la valeur actuelle de la même somme payable si A survit à B (c'est-à-dire payable au décès de B, pourvu que A subsiste à ce décès), en substituant les caractères <7, a' , ^". . . . aux ca-
( i58 ) raclères b^ h\ h\. , . dans la discussion ci-dessus, cette valeur sera donc trouvée égale à
Mais si la valeur actuelle de la somme proposée, payable au décès de A , suivant les conditions du problème , est une fois déterminée , nous pourrons trou ver aisément la valeur de la niême somme payable au décès de B, pourvu que cette tête soit la première qui s'éteigne, en retranchant la valeur trouvée par le problème , de la valeur actuelle du capital proposé, payable à la dissolution du groupe de têtes AB, comme nous l'avons trouvée par le problème XXII , ce qui revient à changer le signe du second terme dans l'expression générale du problème. Ainsi ,
2 t (I 4-ç) L (i -fç) ' 'J«i
désignera aussi la valeur actuelle du capital proposé, payable si A survit à B (i).
(i) On voit ainsi que Texpression
exprime , dans l'un ou Tautre cas, la valeur demandée : le
( «59 ) Comme celte formule se rencontrera souvent dans les problèmes suivans, il sera plus commode de la désigner par une expression plus simple ; supposons donc qu'elle soit représentée par B^ y c'est-àdire, désignons par B^ îa valeur actuelle de i fr. , payable aux conditions énoncées dans le problème ; conséquemment, s xB"^ désignera la valeur aciuelie da capital proposé, dépendant des mêmes circonstances.
Corollaire 2.
235. Au moyen des principes exposés dans le problème, nous pourrons trouver aisément la valeur actuelle d'une somme quelconque dépendant de îa condition que C survive à A, c'est-à-dire payable à la mort de A, pourvu que de deux tètes A, C, ce soit cette tète A qui s'éteigne la première. La valeur de cette somme sera égale à
formule que, pour lés raisons énoncées ci-dessus, je représenterai par s X A^,
De la même manière, la valeur d'un capital quelconque, dépendant de la condition que C survive
signe supérieur se rapporte à la condition du predecès de A et le signe inférieur à la condition dn prédécès de B.
( i6o ) à B, sera trouvée égale à
que, pour les mêmes raisons, je désignerai par s X J^^' Ces formules se présenteront souvent dans les problèmes suivans.
Corollaire 3.
254. Si la condition mentionnée dans le problème, et dont dépend le capital proposé, est différée d'un nombre quelconque d'années /z, moindre que la durée possible de l'existence simultanée des deux têtes, il est évident que les diverses séries verticales de l'expression générale donnée à la page t55 doivent être prises à partir du it^"" terme seulement, et continuer alors jusqu'aux dernières limites de la vie humaine. La somme de ces ternies, en opérant de la même manière que dans le probl. XXII, corollaire 1 5 sera trouvée égale à
expression que je désignerai par s y, (A )
Corollaire /[.
25S. Ou bien, si la condition dont dépend le paiement de la somme donnée, est temporaire (c'est-à-dire si elle doit durer seulement pendant un espace de temps fixé n, moindre que la durée possible de l'existence simultanée des deux têtes), il est évident que les différentes séries verticales de l'expression générale donnée à la page i55 ne doivent être continuées que jusqua n termes seulement, et leur somme, en opérant de la même manière que que dans le probl. XXII, cor. 2 , sera trouvée égale à
Mais , puisque
nous pouvons ( en substituant ces valeurs de la même manière que dans le problème XXII), rendre cette formule plus convenable pour la pratique, par l'expression suivante :
■=: s .A^ — s,{J^y-, c'est-à-dire égale à la différence
It
( i62 ) qui existe entre la valeur actuelle du capital, trouvée dans le problème, et la valeur actuelle du même capital , diffère vcomme dans le corollaire précédent.
Corollaire 5.
256. Si les deux têtes sont égales entre elles, ou du même âge que A , lexpression générale du problème devient égale à - X f — , parce que le second terme de cette expression , ou
s'évanouit entièrement; d'où il suit que dans ce cas la valeur est égale à la moitié de la valeur actuelle de la somme proposée, payable à Ja dissolution du groupe des deux têtes.
Cette observation s'appliquera également aux formules des deux derniers corollaires, pour les 2iSÇ>urances différées ou temporaires , et cela est évident par soi-même. Car puisque le capital assuré n'est payable qu'après la dissolution du groupe des deux têtes , et comme il y a certainement chance égale pour chacune d'elles de survivre à l'autre , il est évident que la moitié de la valeur actuelle du capital, payable à la dissolution de ce groupe de têtes, sera la vraie valeur actuelle du capital dépendant de cette condition restrictive, soit que celte condition s'étende à
I i65 ) toute la durée de la vie, ou seulement à un laps de temps détermine.
Obseri>ations sur la méthode dont M. Morgan s est serif i pour résoudre ce problème,
257. Je ne puis passer outre sans faire quelques observations sur la manière singulière dont M. Morgan a additionné les quatre séries verticales de la page i55, qui expriment la valeur actuelle du capital désigné , payable aux conditions mentionnées dans le problème, et je suis d'autant plus porté à le faire , que de semblables expressions se présentent dans la plupart des problèmes suivans, et qu'il a adopté pour tous la même méthode bizarre et embarrassée , de sorte qu'il a répandu sur toutes ces questions une obscurité que je vais m'efforcer de faire disparaître. M. Morgan partage toute Texpression en deux séries collatérales, qui sont :
s ria — a')b' {a — a )b~~\
2(i-fç)^L fib "^ ab J
j s__ ria^^'jb^ (a"^a"')b"-\
"*"2(,4-çrL ab "^ ab J + etc. , etc. ,
et forment évidemment la même série que celle qu^ j'ai donnée à la page i55.
258. Il remplace la première de ces séries verticales par une autre plus compliquée, en la faisant égale à
s rô ab -j
2(l-fç) L<'^ «^ J
'^2(i-fç)L'^ ah b^ ab A
rb'" d"b"' h"' a"b"'-^
+ etc. , etc. , etc. ,
et alors il procède à l'addition de ces dernières séries verticales de la manière suivante. Il fait la première
(indépendamment du multiplicateur commun -j,
égale a B , la seconde égale à — ^B , la troisième
égale a — T~II~^ '^ 7" > quatrième égale a
, — — - X 7-, de manière que la valeur totale de ces
quatre séries verticales (ou de la première de celles de la page i65) devient égale à
o B' ^ b' AB' b' .p
En opérant de la même manière pour la seconde série verticale de la page i65, on trouve que la somme
en est égale a B, X ^^---JB, X ^ + -^.
Conséquemment, la valeur totale actuelle du capital désigné payable aux conditions mentionnées dans
ie problème, est égale à i[^^,x^ — ^— -f-~^
(ï+ç) b (i+ç) b »bA
259. Mais, assurément, il est inutile de dire a M. Morgan que B — -^—x.-^ est égal à^T^r^^xf ,
et que B^yi y- — ; : est égal à ; — -— seulement.
Donc la formule si gênante et si compliquée donnée ci-dessus peut être représentée plus simplement
dire par une des formules que j'ai donnée dans la note de la page i58. En vérité, on ne conçoit pas facilement comment il a toujours jngé nécessaire de se servir des quantités qui désignent la valeur d'une annuité sur une seule tête , puisqu'il est clair , par la nature même des différentes séries delà page i65, que ces valeurs ne peuvent pas appartenir au sujet, et que îa solution du problème n'implique pas d'autres quantités que celles qui se rapportent aux groupes de deux têtes.
Comme cette étrange erreur se reproduit dans tous les mémoires que M. Morgan a insérés dans les Transactions philosophiques , relativement à ces chances et à d'autres semblables, j'ai pensé bien faire en publiant ces remarques, non-seulement pour prévenir les difficultés qui pourraient résalter de la comparaison de ses formules avec celles que j'ai exposées ici, mais aussi pour dégager ces questions de tout ce qui n'y est pas essentiellement lié. Par la suite, j'aurai occasion de faire de semblables re-
( -66 ) marques sur sa méthode d'addilioniier les diverses séries où il s'agit de trois têtes ; voyez les observations du n ' 251 , etc. , à la du problème XXIX , et du n« 272, à la fia du problème XXXV.
