PROBLÈME XXVIII
240. Déterminer la valeur actuelle d une somme payable au décès de A , pourvu que de deux têtes données A , B , cette tête A soit la dernière qui s'éteigne.
SOLUTION
Il est évident , dans ce cas , que la chance qu'on a de recevoir le capital à la fin de la première année , dépendra d'une seule circonstance , je veux dire, que les deux têles soient éteintes dans ce laps de temps, avec la condition que A soit mort le dernier; la probabilité de cet événement , pour la pre-
miere année, est ^ —r -y qui, étant multiplié par ^(i -f-p)""'? OUL la valeur actuelle du caîpital proposé, payable d'une manière certaine à la fin de
,, , , */.... ^ab , ab' ab ab\
lannee, donnera- (i+pr'X (^+ ^-^-^;
pour lespérance qu'on a de recevoir ce capital à la fin de la première année.
Mais dans la seconde année et les suivantes , la chance qu'on a de recevoir la somme, dépend de
( '67 ) Tun ou de l'autre de ces deux ëvënemeiis , i°. ou les deux têtes seront mortes dans l'année , A étant mort le dernier; 2°. ou seulement A sera mort dans cette an,née , et B dans une des années précédentes. La probabilité du premier événement est, pour la
seconde année, . "^ — -, et la probabilité du
second est, pour le même temps, (i — j-X
Donc ces deux valeurs ajoutées ensemble et multipliées par ^(i+p)""* donneront
i. .^ /là la" àh' àb" , àb* àb"\
pour Tespérance qu'on a de recevoir le capital à la fin de la seconde année.
De la même manière, on trouvera que la probabilité du premier événement est, pour la troisième
année, ~ -, et la probabuite du second
événement, pour le même temps, — f i — -r-);
donc ces deux valeurs , ajoutées ensemble et multipliées par s (1 •+- f»)"^ , donneront
2 ^ ^^^ ^\ a a ab '^ ab "^ ab '^ )
pour l'espérance que l'on a de ecevoir la somme à la fin de la troisième année , et ainsi de suite pour toutes lesannéessuivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine • et la somme de toutes ces valeurs
( -68 ) annuelles^ ou la série
, V* / . , . / 2« ia ab , db' db ab' \
-I- etc. , etc. , etc. , etc. ,
sera la valeur totale actuelle du capital s payable aux conditions du problème.
241. Mais la somme des deux premières de ces séries verticales est , d'après le problème XXII , égale a la valeur actuelle du capital proposé , payable au
décès de A, c'est-à-dire égale à s\ ^ "T ^ L et les
quatre autres séries verticales sont les mêmes, avec un signe contraire, que celles du dernier problème , dont la somme a été représentée par
ji-çAB r {i-^A'B)d . ^ -| 1 1
Conséquemment , la valeur totale de ces différentes series sera exprimée par s ^ ys"^ .
(i) Cette expression est évidemment égale à celle que nous avons trouvée page i66 pour Tespérance de la première année.
Corollaire i .
242. Après avoir ainsi trouve la valeur actuelle du capital propose , payable si A meurt après B , on pourra trouver aisément la valeur actuelle du même capital payable si B meurt après A , c'est-àdire payable à la mort de B , pourvu que A soit mort antérieurement, en retranchant la valeur trouvée ci-dessus dt la valeur actuelle du capital proposé, payable au dernier décès des deux têtes. On a vu, dans le problème XXII, corollaire 5, que cette
valeur est exprmiee par ^X — ^—7 ^ • l^onc,
la valeur actuelle du capital proposé, payable si B meurt après A , sera égale à
Corollaire 2.
245. Si la condition dont dépend le paiement du capital assuré est différée d'un nombre d'années «, moindre que la durée possible de l'existence de la tète A, il est évident que la somme de tous les termes des deux premières séries verticales, après la ï^'"^' année , sera , d'après le problème XXH, co-
( '7<0 rollaire i , égale à ^ X -p^^fy- X -(i+p)~% et la
somme de tous les termes semblables des quatre autres séries verticales sera représentée par l'expression du second corollaire du problème précédent , prise en signe contraire. Donc, si Ton retranche la valeur trouvée par ce corollaire, de la valeur actuelle de l'assurance du capital proposé payable à l'extinction de A , pourvu qu'elle n'ait lieu qu'après le terme donné , la différence sera la valeur demandée.
Corollaire 3.
244. Si la condition dont dépend le paiement du capital assuré, commence à courir immédiatement, mais ne doit durer qu'un nombre d'années déterminé «, moindre que la durée possible de la vie de A , ou , en d'autres termes , si nous voulons déterminer la valeur d'une assurance temporaire de ce capital ; il est évident que les diverses séries verticales données dans le problème doivent être continuées seulement jusqu'à n termes. Or la somme des 71 premiers termes des deux premières de ces séries verticales sera, d'après le problème XXII, corol. 2, trouvée égale à
(I -hç) (I -fç) ' «
donc si nous en retranchons les n premiers terïnes des quatre. séries restantes, comme nous les avons trouvés par le corol. 4 ^^ problème précédent.
( '7. ) la différence sera la valeur de l'assurance temporaire demandée.
245. Si les deux têtes sont égales ou du même âge que A, l'expression générale du problème devient égale, d'après ce qui a déjà été dit dans le corollaire 5 du problème précédent, à
s I — ^{lA — AA)
c'est-à-dire égale à la moitié de la valeur du capital désigné, payable au dernier décès des deux têtes.
