PROBLÈME XXIX
246. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A, pourvu que de trois têtes données A , B , C , cette tête A soit la première qui s'éteigne.
SOLUTION
Pour qu'on reçoive le capital proposé à la fin d'une année quelconque , il est nécessaire que l'un ou l'autre de quatre différens événemens s'accomplisse : i°. ou toutes les têtes s'éteindront dans l'année, A étant mort le premier; 2". ou A et B mourront dans Fan-
( 172 ) née, A étant mort le premier et C étant encore vivant à îa fin de cette année ; 5*. ou A et C mourront dans Tannée , i\ étant mort le premier et B étant encore vivant à la fin de cette année; 4*. ou seulement A mourra dans l'année , et B et C seront encore vivans a la fin de cette année. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont, pour la première année ,
3abc ' aabc *
labc abc '
et si on les ajoute ensemble et qu'on les multiplie
par 5^(1 + f)"', on trouvera
•* / I \ . fiahc "xa'h'c la'hc 'iah'c' aVc a'hc* ahé
fiahc ria'h'c la'hc lah'c' aV c a'hc* ahc* a'h'c\
\ abc ahc abc ahc ahc ahc ahc abc J
pour Tespérance qu'on a de recevoir le capital à la fin de la première année.
De la même manière , on verra que les probabilités respectives de ces difFérens événernens sont , pour la seconJe année, >?
3abc ' labc *
{d—a").(^c'^c")b" Ça'^a")b"c\
labc abc '
si on les ajoute ensemble et qu'on les multiplie par .^(i + f)~% on aura l'espérance qu'on a de recevoir
('75) la somme à la fin de la seconde année. Par un raisonnement semblable, on trouvera les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année , et de toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine ; la somme de toutes ces valeurs annuelles, ou la série
s / riabc "xa'b'c' 6(l+pj V abc abc s Çla'b'c' ia"b"c"
-ia'hc ^ lah'c' ^ ah'c a'hc* ^ abc' a'b'c \^
abc ' abc ' abc abc abc abc J
ia"b'c' ia'b"c" a'b"c' a"b'c" a'b'c' ^"^"^'\
^6(i+p »V. abc abc
s rit^'y'c" 'xa"'b"'c">
abc ' abc abc abc ' abc abc J id"b'c" laVc'" a'b"'c" a'"b"c'" a"b"c'' à!"i'"c''-\
^'Q{^^f)\ abc abc |, etc. etc.
abc ' abc ' abc abc ' abc abc J etc. etc. etc. etc.
sera la valeur totale actuelle du capital proposé, payable aux conditions du problème.
247. Or les sommes de ces huit séries verticales, indépendamment du multiplicateur commun s ^ sont respectivement égales à
i-^ABC ABC i-\-'A'BC «[ , > i>^ a^
D'où Ton voit que la somme de la première et de la seconde est, d'après le problème XXII, égale à
3^ (i+ç) ' la somme de la troisième et de la quatrième est
égale à
la somme de la cinquième et de la sixième est égale à
»jt la somme de la septième et de la huitième est égale à
Conséquemment, la valeur totale actuelle du capital, payable aux conditions ci-dessus mentionnées, sera égale à s multiplié par
Comme cette formule se reproduira souvent dans le cours des problèmes suivans, il conviendra de la représenter par une expression plus simple ; supposons donc qu'elle soit représentée par A^^^ c'est-à-dire désignons par A^^ la valeur actuelle de i fr. payable aux conditions ci-dessus; par conséquent j X ^^'^ désignera la valeur actuelle du capital proposé dépendant des mêmes circonstances.
Corollaire i .
248. Si l'on voulait trouver la valeur actuelle du capital , payable au décès de la tête 13 , pourvu qu'elle soit la première qui s éteigne de trois têtes données, nous pourrions facilement obtenir cette valeur en substituant A à B et B à A dans la solution du problème. De cette manière on trouvera que la valeur actuelle demandée est égale à s multiplié par
3(i+ç) oa\ (i-f-ç) t I)
Par un procédé semblable on trouvera que la valeur actuelle du capital, payable au décès de la tête C, pourvu qu'elle soit la première qui s'éteigne des trois têtes données, est égale à s multiplié par
Comme ces formules pourront être utiles par la suite^, j'ai jugé convenable de les insérer ici.
249. Si les trois têtes sont égales, ou du même âge que A, les trois derm'ers termes de chacune des expressions ci-dessus se détruisent l'un lautre , et
la formule se réduit alors à ^ x ' T^ — r— , expres-
(i-hç) ^
sion égale au tiers de la valeur actuelle du capital désigné, payable à la dissolution du groupe des trois têtes.
Corollaire 3.
250. Si la condition dont dépend le paiement du capital assuré ne doit durer qu'un temps donné Uy la valeur actuelle de ce capital sera égale à la somme des n premiers termes des diverses séries données dans le problème , et le moyen de la déterminer est suffisamment indiqué parles exemples des problèmes précédens.
Observations sur la manière dont M, Morgan a résolu ce problème.
251 Les raisons qui m'ont porté , à la page i65 , à examiner l'étrange méthode qu'a employée M. Morgan pour ajouter les diverses séries qui proviennent de la
( '77 ) liiscussioiî du problème XXVIl, expliquent suffisamment au lecteur pourquoi je vais encore critiquer la manière non moins diffuse et obscure qu'il a aussi adoptée pour l'addition des diverses séries provenant de la discussion du problème dont nous nous occupons actuellement.
En examinant les séries de la page ijS, on verra quelles peuvent être présentées de la manière suivante :
/__ rilZ:Jl2^ -^ (g ■^a')b'c {a -^ a)hc (/z — a')h' c' n
(i-f-pj L 3aic ^ahc 6ubc "^ 3V7Zc J
(i+p}' L ^aé-c 6abc (yaôc "^ 3abc J
(ï+f)' L 3aic 6abc "*~ 6a^c "^ 3«'^7' J -f. etc. etc. etc. etc.
et c'est la manière dont M. Morgan a jugé convenable de représenter la valeur actuelle du capital proposé, payable aux conditions mentionnées dans le problème.
252. Voici de quelle manière il ajoute ces quatre séries verticales.
Il développe la première en celle-ci :
s / bc a bc \
(T-f-ç) \3^ "^hc )
s fh'c' a'h'c h' c db'c\
".,// ^itjj'^it^
+ etc., etc., etc.,
( '78 ) dont il égale la somme (indépendamment du muî-
tiplicatem' commun ^) à B^C^ >^ "^ — ^^t^t X
En opérant de la même manière, il égale la seconde série verticale du n* 251 (indépendamment
du multiplicateur commun g) à BC^y: ^ — ABC^>c^
B'C h' , AB'C h' . ^ . .. ^ r» ^ ^,
- (7-p^ X r + (H-1) ^ ^ ^ ^" troisième a ,5,Cx -^
j^ ^ b BC c . ABC c , .
— JB.C X f — 7-T-^ X - 4- J-r-, X -, et la
' b (i + ç) c (l-fç) c
quatrième a ^(7 — ^jBc; — r x -7 f- 7-7- x
X 7—. Conséquemment , la somme des quatre séries verticales du n" 2al ( ou la valeur totale actuelle du capital payable aux conditions stipulées dans le problème), sera trouvée égale, comme il Tobserve, à s multiplié par
' ' "^ ôbc ' ' Zbc 3(i-f-ç) • 3(i-t-ç)
+ BC,x^ -ABC, X 1^ - .^ X 1^ + ^' X g^ + ^y^ X g^ — ^i^,c X g^ — ^^q:^ x g-
255. Maintenant, en donnant un moment d attention aux difFérens degrés de Topération, on se
( 179 ) convaincra que toutes les quantite's qui impliquent deux têtes réunies y sont introduites j-^tw nécessité y dans la formule ci-dessus; car elles se détruisent évidemment les unes les autres. En effet,
d'où la formule si compliquée donnée par M. Morgan peut se réduire à s multiplié par
C'est absolument la même que celle que nous avons trouvée à la page 174? excepté le second terme
que l'on a substitué à son égal
( i8o ) On voit doue clairement que la formule de M. Morgan comprend un nombre de termes double de celui qui est ne'cessaire pour résoudre le problème, ce qui fait que non-seulement elle est compliquée de quantités inutiles , mais encore sujette à beaucoup d'erreurs dans la traduction arithmétique. Il est, de plus, évident, par la nature même de la série de la page ij5 , que ce n'est que fort improprement qu'on a pu y introduire des expressions impliquant deux têtes réunies , et il est singulier que cette considération n^ait pas porté M. Morgan (s'il se proposait pour objet d'éclairer et d'instruire), à repasser tous les degrés de son opération, pour la rendre à la fois plus simple et plus claire.
254. Mais il y a une autre partie de la solution de M. Morgan sur laquelle je juge également nécessaire de faire quelques observations. 11 prétend que la formule qu'il a trouvée, comme nous l'avons vu plus haut, a donne la valeur exacte lorsque B ou C » est la plus vieille des trois têtes; mais que quand A » est la plus vieille, il devient nécessaire de chan- » ger les caractères, etc. » , et il a donné une autre formule pour résoudre le problème dans ce cas, avec d'autres caractères qui rendent la solution encore plus confuse. De tout cela il ressortirait que la première formule n'est pas applicable au second cas.
Mais la seconde fo- mule qu'il a donnée est encore la même (quoique embarrassée des quantités étrangères et inutiles dont nous avons parlé plus haut).
( '8i ) que celle que j'ai donnée à la page 174 ^ si ce n'eit qu'il a remplace le dernier terme
par son égal
et il sera peut-être utile de remarquer que la formule que j'ai donnée à la page 174 est universel-^ lement vraie , et ne dépend pas des relations d'âge des têtes proposées. Les substitutions mentionnées ci -dessus sont des arrangemens purement arbitraires pour la solution numérique du problème , dont on peut se servir ou non , au choix du calculateur.
255. Il est aisé de voir, d'après ce qui vient d'être dit, que la formule qui désigne la valeur du capital dépendant de la condition énoncée dans le problème, peut être présentée de trois difïérentes manières , selon qu'on ajoute différemment les diverses séries verticales données à la page 175. Mais il n'est nullement nécessaire, ni même utile, de représenter ces trois diverses méthodes. M. Morgan, après bien des longueurs et de la confusion , en a démontré seulement deux ^ mais en s'effoiçant ainsi d'éclaircir la question, il l'a certainement rendue plus confuse encore. On doit blâmer toujours l'introduction de quantités inutiles dans la discussion d'ua„
problème , surtout lorsqu'on les conserve dans les formules qui en résultent; et des changemens capricieux dans les caractères employés sont également condamnables , non-seulement comme contraires au véritable but de la science, dont Tobjet est d'instruire et non de proposer des énigmes , mais aussi comme détruisant l'ordre et l'harmonie dans les raisonnemens mathématiques.
J'ai jugé convenable de faire ici ces observations, parce que ce problème est d'une importance considérable pour nous aider à résoudre plusieurs des questions suivantes, et que M. Morgan y a eu recours lui-même; ainsi les remarques que j'ai faites ici s'appliqueront également aux problèmes que M. Morgan a déduits de celui-ci. En vérité, je ne crois pas qu'on puisse trouver un seul problème traité par lui dans les Transactions philosophiques ^ sur la valeur des assurances conditionnelles , pour lequel il n'ait pas adopté dans la discussion cette méthode prolixe et confuse.
