De plus , si l'on retranche cette expression de

l'unité, on aura la probabilité d'accomplissement de

Fun quelconque de ces événemens; car, puisque

— —-y X — . — 3 X -~->- . . est la probabilité du non

accomplissement de tous les événemens proposés ,

il suit (n° 4) que i —y X -— > X — ^— /-• • •

désignera la probabilité contraire au non accomplissement de tous ces événemens, c'est-à-dire favorable à l'accomplissement de î'un d'eux ; et celte expression, multipliée par la quotité de la somme désignée, donnera l'espérance mathématique qu'on a de recevoir cette somme, dans le cas où Tun des événemens proposés aurait lieu.

9. De la même manière, si l'espérance qu'on a de recevoir une somme dépend de l'accomplissement d'un certain nombre d'événemens indépendans et du non accomplissement d'un certain nombre d'autres événemens indépendans, sa valeur sera égale à la quotité de la somme multipliée par la probabilité de l'accomplissement des premiers, et encore par la probabilité contraire à l'accomplissement des autrès. Ces principes nous suffiront pour déterminer la valeur d'une espérance mathématique qui dépendrait de Taccomplissement ou du non accomplisse--

(5) nient d'un nombre quelconque dévenemens indëpendans.

10. Jusqu'ici j^ai toujours considéré ces événeniens comme indépendans les uns des autres; mais si nous voulons déterminer la probabilité du concours de deux événeniens dépendans l'un de l'autre, nous devrons multiplier la probabilité du premier par la probabilité qu'aura le second, si l'on considère le premier comme accompli; et la même règle s'étend à autant d'événemens qu'on voudra

11. S'il y a plusieurs espérances de recevoir plusieurs sommes, il est évident que l'espérance mathématique de la totalité sera égale à la somme des espérances partielles. Mais s'il n'y a qu'une seule somme à recevoir dans le cas où les conditions proposées s'accompliraient, la valeur de l'espérance ne sera plus la même. Au reste, les méthodes à employer dans ces sortes de questions seront expliquées plus au long dans le cours de cet ouvrage ; ce que nous avons dit jusqu'ici ne devant servir que d'introduction aux divers problèmes que nous résoudrons par la suite.

12. Maintenant, si nous avons à rechercher la probabilité qu'une personne d'un âge donné a d'atteindre ou de ne pas atteindre un certain âge donné, ou de recevoir une somme d'argent qu'on lui promet si elle atteint cet âge, c'est certainement une question de la plus grande incertitude, et à laquelle, pour

(6) plusieurs individus du même âge, on devra répondre d'une manière toute différente. La chance qu'un homme de 5o ans, qui a une bonne constitution , des habitudes réglées et frugales, et qui habite la campagne, a de vivre encore 20 ans, est évidemment plus grande que celle d'un homme du même âge et de la même vigueur de constitution , mais plongé dans les plaisirs et les débauches d'une grande ville; plus grande encore que celle d'un homme du même âge et de la même force de tempérament, mais allant habiter un climat malsain auquel il n'est pas accoutumé; et, a plus forte raison encore, plus grande que celle d'un homme du même âge, mais d'une constitution faible et maladive, ou que ses occupations journalières exposeraient à beaucoup de dangers dont la généralité des hommes sont exempts, tels que les soldats et les marins en temps de guerre ou de service actif. Ces circonstances sont hors du domaine du calcul, et tout ce que les règles générales peuvent faire à ce sujet, c'est d'estimer le degré raisonnable de probabilité qu'une personne d'un âge donné a d'atteindre un autre âge donné, en supposant qu'elle n'ait ni plus ni moins de chances d'y parvenir que la majorité des individus du même âge. Cette chance moyenne est déterminée par des tables qui montrent le nombre de personnes qui , sur un certain nombre d'enfans, ordinairement mille au moins, que l'on prend au moment de leur naissance, sont, par une longue suite d'observations, trouvés vivans à chacune des années consécutives de la vie humaine^ jusqu'à sa dernière limite; cette limite, dans quel-

(7) ques tables, est portée à 86, et dans d'autres, à plus de 90 ans. Les exemples de la prolongation de la vie humaine jusqu'à 100 ans et au-delà sont si rares, qu'on n'a pas jugé utile d'en faire l'objet d'aucune observation spéciale.

15. Plusieurs observations sur la mortalité ont été faites par différentes personnes et dans différens lieux , et plusieurs écrivains tels que D"^ Hallej, Th. Simpson, Kersseboom, Deparcieux, D"" Price, Sulmich, Wargentin , Muret et autres ont calculé , d'après ces observations, des tables de la nature de celles dont nous venons de parler. Mais les mêmes tables de mortalité ne conviennent pas dans toutes les localités; l'expérience a montré que tous les pays ne sont pas également sains , et que le nombre de personnes qui meurent annuellement n'est pas le même, proportion gardée, en différens lieux. D'' Halley forma sa table d'après des observations faites sur les naissances et les décès de la ville de Breslaw en Silésie, pendant une série de 5 ans, de 1687 ^ 1693. Thomas Simpson , d'après des observations faites sur les registres mortuaires de Londres pendant 10 ans, de 1728 à 1758. Kersseboom, en dépouillant les registres de certaines annuités viagères constituées en Hollande, embrassa un espace de i25 ans. Deparcieux se servit des listes des tontines de France, et ses résultats furent confirmés par la comparaison des nécrologes ou registres mortuaires de quelques maisons religieuses des deux sexes. D" Price fît usage d'un registre tenu à Northampton pendant 46 ans, depuis

(8 ) 1755 jusqu'à 1781; le même auteur a aussi dressé une table d'après un semblable registre tenu à Norwich pendant 5o ans, de 1740 à 1770; une autre d'après un registre tenu à Holy-Cross, prèsdeSchrewbury pendant 3o ans, de T751 à 1781; une autre d'après un registre tenu à Warrington, dans le comté deLancastre, pendant 9 ans, de 1773 a 1782; une autre d'après un registre tenu par D'' Nay garth à Chester pendant 10 ans, de 1772 à 1782; une autre d'après un registre mortuaire tenu à Vienne pendant 8 ans; une autre d'après un semblable registre tenu à Berlin pendant 4 ^ns, de 1762 à 1756; une autre d'après un semblable registre tenu à Brandenburgh pendant 5o ans, de 1710 a 1760: ces trois dernières tables furent dressées au moyen de documents fournis par Sulmich ; une autre encore d'après les tables de mortalité de Stockholm pendant 9 ans, de i^55 a 1764, et suivant les observations de Wargentin, et une autre enfin d'après sept différentes énuméra-^ tions de toute la population du royaume de Suède , répétées de 5 ans en 5 ans, en ij^j , 1760, 1765, 1766, 1769, 1772 et 1775. Muret se servit des registres tenus dans quarante - trois paroisses du canton de Vaud en Suisse pendant 10 ans, de 1766 a 1766.

14. Toutes ces tables présentent entre elles des contradictions, et souvent si frappantes que nous ne pouvons croire qu'on ait traité cette question avec tout le soin et Texactitude dont elle est susceptible. On aurait dû observer qu'il y a deux natures d'élé-

(9) merits pour former des tables de mortalité; les uns se tirent des registres des décès , qui montrent le nombre des personnes qui meurent à tous les âges sur une population quelconque ; les autres , de la proportion qui existe entre le nombre des morts à tous les âges et celui des vivans aux mêmes âges. Les tables déduites des premiers de ces élémens ne sont correctes que lorsqu'il y a peu de fluctuations dans la population d'une contrée, et quand le nombre des naissances est égal à celui des décès; mais quand il y a plus d'individus qui quittent une localité que d'individus qui s'y établissent , et quand les naissances sont plus nombreuses que les décès (ainsi qu'il arrive presque toujours dans les communes rurales) les tables ainsi formées donneront une vie probable trop courte ; et si le contraire a lieu, comme c'est l'ordinaire dans les grandes villes, une vie probable trop longue. Mais les tables formées d'après l'autre nature d'élémens ne sont sujettes à aucune erreur.

15. La plupart des tables que nous avons citées ont été construites d'après les premiers de ces élémens , et dans presque toutes , on a eu égard autant que possible aux variations produites par l'émigration, etc. Mais je ne crois pas qu'on se soit servi des autres élémens pour dresser aucune table d'observations , si ce n'est Wargentin qui fit des observations de cette nature sur la population de la Suède , et il est fort à regretter qu'on n'en ait pas fait de semblables dans les autres contrées,

Vci. Par une circonstance singulière, non-seule-

ment les individus du sexe féminin vivent plus longtemps que ceux du sexe masculin, mais encore les femmes mariées vivent plus long- temps que les femmes célibataires. Toutes les tables d'observations confirment cette particularité, dont D"" Aikin à Warrington et D** Hajgarth à Chester ont aussi reconnu l'exactitude. Tous deux tinrent des registres distincts pour constater la mortalité chez les hommes et chez les femmes. Des registres semblables furent aussi tenus à Stockholm , et dans le recensement de toute la population de la Suède , cette circonstance fut aussi l'objet d'une attention particulière ; ces dernières observations, qui paraissent mériter toute confiance , fournissent des élémcns sufïîsans au calcul de tables distinctes d'annuités viagères pour chaque sexe, dans le célibat ou le mariage , et ces tables pourraient servir à déterminer la valeur des annuités ou assurances dépendant de l'existence ou du décès des veuves.

17. Les tables d'observations les plus usitées aujourd'hui en Angleterre sont celles que construisit D' Price d'après les registres de décès de Northampton; mais elles tirent leur principale importance des nombreux tarifs d'annuités viagères sur une ou plusieurs têtes, qu'elles ont servi à calculer. Sous tout autre point de vue il doit paraître très incorrect de regarder comme applicable à tout un pajs les observations faites dans une seule ville; on devrait constater la mortalité générale de tout le royaume , ainsi qu'on l'a fait en Suède , pour que les résultats convinssent à toutes les situations. Mais

jusqu'à ce que le Gouvernement juge convenable d'ordonner la recherche des élëmens nécessaires, nous devons nous contenter des louables essais de quelques observateurs isolés, et profiter des lumières incomplètes qu'ils ont répandues sur ce sujet.

18. Quant aux diverses tables de mortalité que nous avons citées plus haut, je ne pense pas qu'aucune d'elles, à l'exception de celles de Kersseboom et de Deparcieux, puisse servir à calculer la valeur des annuités viagères. Car il est évident que toute personne malade ou qui sentira en elle-même le germe d'une maladie^nortelle , ne voudra pas donner d'une annuité viagère le prix indiqué par les tables; je suis même porté à croire qu'elle n'en voudra acquérir à aucune condition. Ainsi l'on conçoit que les personnes qui se constitueront des rentes viagères seront toujours en bonne santé; elles ne composent donc qu'une partie de la population. Les élémens que Kersseboom et Deparcieux ont consultés pour la formation de leurs tables nous suffisent pour fixer d'une manière exacte les chances de la mortalité dans cette classe d'individus, et pour en déduire la valeur des annuités.

19. Des observations analogues peuvent s'appliquer à la détermination de la valeur des assurances; car on sait bien que l'assureur doit continuellement se tenir en garde contre les mauvaises santés, et les lois du pays punissent avec une juste sévérité toute fraude à ce sujet. Mais comme la cupidité ou la négligence peuvent amener à les violer, les per-

sonnes qui se feront assurer auront plus souvent de mauvaises sante's que les personnes qui se constitueront des rentes viagères. Dans Tun et l'autre cas cependant, on peut souvent déterminer une valeur plus correcte, en ayant égard à l'état de santé, à la résidence et aux habitudes des contractans.

20. Mais les âges et les situations sont sujets à tant de combinaisons diverses, que nous devons opérer d'après des principes généraux , sans égard pour les cas particuliers. Il serait donc extrêmement à désirer qu'on eût dressé des tables générales sur la mortalité de tout le royaume. Construites de cette manière, elles nous mettraient à même de déterminer le degré de foi qu'on doit ajouter à celles actuellement en usage , et serviraient de base à d'autres plus détaillées et plus étendues.

21. Pour faciliter au lecteur l'intelligence de cet ouvrage, j'y ai joint un tableau comparatif de toutes les principales tables qui ont été construites sur la mortalité en diverses contrées : voyez table là la fin du second volume de cet ouvrage. La première colonne montre les âges, et les autres colonnes le nombre de personnes qui subsistent h ces âges, sur looo enfans qui naissent dans les différens lieux désignés à la tête de chaque colonne; ces lieux sont disposés suivant ledegré de mortalité de leurs habitans. Londres et les autres grandes villes sont donc placées les premières ; puis les autres pays en suivant le plus exactement possible leur ordre de salubrité , et enfin les campagnes. Ce tableau servira donc à constater avec la dernière

( >3) évidence , l'ënorme différence qui existe entre les grandes villes et la campagne, pour la durée de la vie humaine ; car on verra que plus on s'éloigne des premières , plus est grande la probabilité de vivre , et plus on a de chances d'atteindre un âge avancé. Ainsi, sur looo individus qui naissent à Vienne, plus de la moitié meurent avant d'avoir 2 ans, tandis qu'à Norwich , le même ,nombre d'enfans vivent environ 8 ans; à Holy-Cross, plus de ^27 ans; et dans le canton de Vaud, en Suisse, jusqu'à 41 a^^^s. Ce tableau confirmera aussi la vérité de l'observation qui a déjà été faite sur la longévité des personnes qui se constituent des rentes viagères ; car il paraît constant, d'après les recherches de Deparcieux, qu'à toutes les périodes de leur existence, cette longévité est beaucoup plus grande que dans un même nombre de personnes prises au hasard dans le climat le plus sain du monde; ainsi, les tables de Northampton n'indiquent qu'avec beaucoup d'inexactitude la mortalité des rentiers viagers.

22. Mais quelle que soit l'inexactitude de ces tables, elle ne saurait nuire aux développemens qui feront le sujet de cet ouvrage. Les principes que nous poserons et les règles que nous en déduirons seront toujours traités généralement , et sans égard à aucun cas particulier. Le lecteur en pourra donc faire l'application à chacune des tables que j'ai citées , ou à toute autre plus correcte , ou plus en harmonie avec les conditions du problème.

25, Soit donc une table quelconque d'observations,

indiquant le nombre des vivans à tous les âges de la vie . Soit <2 le nombre de vivans à l'âge d'une tête donnée A, et désignons par a ^ d\ a'", les nombres de vivans aux âges consécutifs. Soit aussi b^ le nombre de vivans à lage d'une tête donnée B, et désignons par b' y U', b'", les nombres de vivans aux âges consécutifs. Soit encore c , le nombre de vivans à l'âge

de C , et désignons par c\ d\ c'", les nombres

de vivans aux âges consécutifs. De la même manière désignons par a le nombre de vivans à la fin de n années à partir de l'âge de A , et par aJ , a!\ a'%

les nombres de vivans aux âges consécutifs; par |0 le nombre de vivans à la fin de n années à partir de

lage de B , et par /3', /3", /3'', les nombres de

vivans à chacun des âges consécutifs ; enfin, par^ le nombre de vivans à la fin de n années à partir de l'âge

de C , et par y\ y\ y'", les nombres de vivans à

chacun des âges consécutifs; et ainsi de suite pour un nombre quelconque d'autres têtes. Alors, si l'on considère que sur /2 vivans, à l'âge de A , il n'en reste plus que a' à la fin d'une année, il sera évident que le nombre de chances qu'a la tête A de subsister un an de plus est a', et que le nombre total de chances qu'elle a d'atteindre ou de ne pas atteindre la ^m de cette année, est a. Donc la probabilité qu'a la tête A de subsister à la fin de la première année , est repré-

sentée par — . On trouvera de la même manière que la probabilité qu'elle a de subsister à la fin de la se-

conde année, est — , à la fin de la troisième année — ,

( '5) et aiosi de suite ; car a!', a*" , sont respectivement le nombre de chances que la tête A a de subsister 2,5 ans, et a est toujours le nombre total

de chances qu'elle a de subsister ou de ne passubsister à la fin de ces années. De la même manière, les probabilités qu'a la tête B de vivre i, 2, 5 ans .... sont respec-

h' b" b'" tiveraent j , t-, t-, etc., et pour la tête C les mêmes

/ Il m

probabilités sont - , —, —, etc. {^Voj. n° 2.) Raisonnant encore de la même manière , on trouvera que les probabilités que la tête A a de subsister n^ n-^x ,