J-2 , w-|-5 années sont respectivement

/ Il III — ? — y --—9 etc.; que les mêmes probabilités

& Qf &" ê1" sont pour la tête B, r, t, r-y r-, et pour la tête

C,?.î, ^', ^°, etc.

24. De plus, les probabilités que deux têtes quelconques A et B ont de subsister simultanément pendant 1 , 2, 5 années, sont respectivement re-

' i.' // / " „f uni

^ . r ab a b a b ^ .ni

presentees par —j-, — j-, —y—, etc. , et celles de trois

.A. * -n r^ abc abc abc ^ /„r»N

têtes A, B,C par -^, -^-, -^-, etc. (n° 6.)

Enfin , les probabilités que deux têtes quelconques A, B ont de subsister simultanément pendant n, /z-f- 1 ,

uf6 u'^' u"(6" cc'"^'"

w+2, 71+5 , années, sont ^, — ^-, -^^ —j-y etc. ,

et celles de trois têtes A, B, C sont pour les mêmes

espaces de temps ^, -^, -^, -^-, etc,

25. D'après ces principes , il est clair (11° 4) que la probabilité que A a de mourir avant la fin de la première année sera représentée par i . Car puisque — désigne la probabilité que A a de vivre jusqu'à

la fin de ce laps de temps, cette expression, retranchée de l'unité, donnera la probabilité contraire. De la

même manière on trouvera que 1 , i — — , etc.

désigneront les probabilités que A a de mourir avant

la fin des seconde, troisième années. De même

encore les probabilités que B et C ont de mourir en 1 , 2 , 5 . . . . ans seront représentées respective-

b' b" b'" ^ ^ c' c" ment par I — -j, i — ,-, i— -^, etceti ,1 ,

c'" I — —, etc. De plus, les probabilités que l'une des

deux têtes AB, et Tune des trois têtes ABC ont de mourir en i , 2 , 5 . . . . ans , seront représentées res-

ab' a"b" d"b'" ^

pectivement par i - -^ , i - -^ , i - -^^, etc.,

abc abc abc t.

et I . — , I > — , I -j — , etc. bA en ge-

abc abc ' abc ' "

néral, si nous retranchons de l'unité la probabilité que les têtes proposées ont de subsister simultanément jusqu'au terme fixé , le reste exprimera la probabilité qu'elles ont de ne pas subsister simultanément jusqu'à la fin de ce laps de temps, c'est-à-dire la probabilité que Tune d'elles a de mourir avant ce terme.

26. Mais ( n° 6 ) la probabilité que toutes les lêtes A, B, C,. . . ï ont de s'éttjindre en 1 an, sera

( '7 ) ^ représentée par M — ^j x(i — ^ j X (i — jjXelc;

ondeuxans,parrT — ^JxTi — ^)x(^ — 7j^ ^*^* '

entroisans, parTi — ~)x(i — bJ^K — t) "^ ^*^' El les probabilités contraires à ces événemens, c est-àdire que Fune de ces têtes a de subsister à la fin des première, seconde, troisième,.... années, seront respectivement représentées par

, (, î) X (t - I) X (. - î) X etc.,

' - (i - ^) X (' - r) X V -F) X etc-

27, Jusqu'ici, en cherchant la probabilité qu'une tête a de mourir dans un temps donné, j'ai toujours considéré cet événement comme devant avoir lieu à une époque quelconque avant le terme fixé Mais si nous avions à déterminer la probabilité que cette tête a de mourir dans le courant d'xme année particulière, l'expression changerait totalement. Ainsi la probabilité que A aura de mourir dans le courant de la seconde année, après avoir survécu à la première, est

égale ai r = — r - ; car -7- désignera , a la Jin

de la première année ^ la probabilité que A aura de vivre à la fin de la seconde; et cette valeur, retran-^ chée de l'unité, donnera la probabilité que A aura de mourir dans cette même seconde année. Mais puis- T 1. 2

( "8) que cet événement dépend aujourd'hui de la continuation de l'existence de A pendant l'année précédente

(existence dont la probabilité est— J ; la valeur que nous avons trouvée plus haut devra être multipliée par cette fraction , afin de devenir la véritable valeur que nous cherchons. Donc la valeur actuelle de la probabilité que la tête A a de mourir dans le courant de la seconde année est représentée par

; — X — ^^ • A>e Ja même manière, la mo-

habilité qu'elle a de mourir dans le courant de la

Il <U M

troisième année, est représentée par r,— X —

z= 'y et ainsi de suite, jusqu'aux /z'""% (^2+1)'"%

(ji -f- 2)"'% (/z-H- 3)"% .... années, pour lesquelles les probabilités analogues seront respectivement '*^^^-,

I f II II m

te — u OS — « oc Ot ^ • T ^1 1

, , , etc. , CL, mdiquant le nombre

de vivans à la fin àe n — i années à partir de l'âge de A. Les mêmes observations s'appliquent à un nombre quelconque de têtes réunies ; car en poursuivant le même raisonnement , on trouvera que la probabilité actuelle que l'une des trois têtes A, B, C, a de s'éteindre dans le courant de la seconde année , sera exprimée par

a;b'c — a"b"c" db'c ab'c — a!'b"c"

db C abc abc '

dans le courant de la troisième année, par

^ »h^ ~ r,h^ " ? tîtC. ,

l'b'c" abc abc

( 19) et ainsi de suite jusqu'aux 7z'''"% (n^ 1)"*% (« + 2)"*% (^ + 5)™% etc. années, pour lesquelles les proba-

.,., 1 . et p y — " «CiSy

bilites analogues seront respectivement ' ' ' j >

y^ , désignant le nombre de vivans à la ïva de n — i années à partir des âges de A , B , C , respectivement.

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