PROBLÊME XXX

256. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A, pourvu que de trois têtes données A, B, C, cette tête A soit la seconde qui s'éteigne.

SOLUTION

La somme peut être reçue à la fin de la première année, si Tun de ces trois différens événemens a

( i83 ) lieu, 1*. ou les trois têtes s'éteindront dans l'année, A étant mort le second; 2*. ou A et B mourront dans l'année, A étant mort le dernier, et C vivant encore à la fin de cette année; 3°. ou A et C mourront dans l'année , A étant mort le dernier et B vivant encore à la fin de cette année. Les probabilités de ces divers événemens sont respectivement

{a-^a').(b^b').(c—c) {a^a').{b-b')c {a-a').{c-c),b' Zabc ^ 2abc Q.abc ^~

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i+p)""', donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes , la somme désignée peut être reçue si l'un quelconque de ces sept difFérens événemens a lieu; i". ou toutes les trois têtes s'éteindront dans Tannée , A étant mort le second ; 2"*. ou A et B mourront dans l'année, A étant mort le dernier et C vivant encore à la fin de Tannée; 5°. ou A et C mourront dans Tannée, A mourant le dernier et B vivant encore à la fin de Tannée ; 4°* ou A et B seront morts dans Tannée, B mourant le dernier et C étant mort dans Tune des années précédentes ; 5°. ou A et C seront morts dans Tannée, C mourant le dernier, et B étant mort dans Tune des années précédentes ; ô"*. ou seulement A sera mort dans Tannée , B vivant encore à la fin de cette année , et C étant mort dans Tune des années précédentes ; 7°. ou enfin A seule-

( ï84 ) nient sera mort dans l'année, C vivant encore à la fin de cette année , et B étant mort dans Tune des années précédentes. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont , pour la seconde année ,

{a'--a").{b'^b").{c'-'c'') {a'-a"):{b'-b")c" {a-a").{c' -cy/

Zabc labc ^ lab

{a'-^'),{b'--b") (^i\ {a'^a"),{c'-^c") f ^ ^\ 2.ab \ c J* Q.ac \ b J'

sions qui^ étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i+p)^% donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière, on trouvera que les probabilités de ces divers événemens , pour la troisième année , seront représentées respectivement par

Zabc ^ labc ' o.abc ^