PROBLÈME XXXI

259. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A , pourvu que de trois têtes données A, B, C, cette tête A soit la dernière qui s'éteigne.

SOLUTION

Il est évident que la somme ne peut être reçue à la fin de la première année que dans le cas de l'extinction de toutes les têtes , A étant mort le dernier ; la probabilité de cet événement est

(a — a!) X {h-^b') X (c — c) Zabc '

( '87 ) expression qui ëlant multipliée par ^(i H-p)""' donnera l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme peut être reçue si l'un quelconque de ces quatre difFérens événemens a lieu, i °. ou toutes les têtes mourront dans l'année, A mourant le dernier; 2°. ou A et B mourront dans l'année, A mourant le dernier et C étant mort dans l'une des années précédentes; 3°. ou A et C mourront dans l'année, A mourant le dernier, et B étant mort dans l'une des années précédentes; 4**' ou seulement A mourra dans l'année, B et C étant morts dans l'une des années précédentes. Les probabilités respectives de ces événemens sont, pour la seconde année,

3abc ' 2ab \ cj^