J^BC. ^ + ^^ . ^' - ABC
' ' 3a ' 6(i-fç) ^ '66
^^ 6(i-fç) *c ''6c*
Mais cette expression est égale à
formule qui désigne par conséquent la valeur ae-^ tuelle demandée.
Corollaire.
260. Si les trois têtes sont égales ou du même âge que A, la valeur actuelle du capital proposé sera , d'après ce qui a été dit dans le corollaire du der-^ nier problème , représentée par
— g (3^ — 3AJ 4- AAA)
•î X ov -^ — ^ ,
ou le tiers de la valeur actuelle du même capital payable au dernier décès des trois têtes.
( iSg )
S colic.
261. Si Ion ajoute ensemble les valeurs actuelles du capital propose, comme nous les avons trouvées par les problèmes XXIX, XXX et XXXI, on trouvera leur somme égale à la valeur actuelle du môme capital , payable au décès de A ; ainsi la somme de
ces trois valeurs sera égale à s X 'r~j~ • P^^' ^^ se trouve démontrée l'exactitude de ces raisonnemens.
PROBLEME XXXIL
262. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A, pourvu que de trois têtes données A, B, C, cette tête A soit la première ou la seconde qui s'éteigne.
SOLUTION
La somme proposée peut être reçue à la fin de la première année, si Tun ou l'autre de quatre différens événemens a lieu. i°. Ou les trois têtes mourront dans l'année , A mourant le premier ou le second ; 2*. ou A et B mourront tous deux dans l'année, et C vivra encore à la fin de cette année; 5^ ou A et C
( '90 ) mourront tous deux dans Tannée, etB vivra encore à la fin de celte année; 4°' ou seulement A mourra dans Tannée, et B et C vivront encore à la fin de cette année. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont représentées par
3abc ' abc '
abc abc *
expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^ (i + p)~'> donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année. Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme proposée peut être reçue si Tun quelconque de ces huit difïerens événemens a lieu. i"*. Ou les trois têtes mourront dans Tannée, A mourant le premier ou le second; 2''. ou A et B mourront tous deux dans Tannée, et C vivra encore à la fin de Tannée; 3". ou A et C mourront tous deux dans Tannée, et B vivra encore à la fin de Tannée ; 4"* ou seulement A mourra dans Tannée, et B et C vivront encore à la fin de Tannée; 5\ ou A mourra avant B dans Tannée, C étant mort dans Tune des années précédentes; 6\ ou A mourra avant C dans Tannée, B étant mort dans Tune des années précédentes; j". ou seulement A m.ourra dans Tannée, C étant mort dans Tune des années précédentes, et B vivant encore à la fin de Tannée; 8\ ou seulement A mourra dans Tannée, B étant mort dans Tune des années précédentes, et C vivant encore h la fin de Tannée. Les probabi-
( 19- ) Htés de ces divers ëvënemens^ pour la seconde année, sont representees par
'2.{a-.a").{b''-b").{c'--c") {a'^a").{b'—b")c" Sabc ' abc ^
{a'-a").{c'^c")b" {a'~a')b"c" {g'-gy^b'^b") ( c'\
abc ^ abc * lab \ c J^
{d-d').{c'^c")r ^b\ {a'—a")b" / c\ lac \ b J'' ab \ c)
(a'- a")c" / b' et
expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par j(i + P)~"*» donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière , nous pourrons trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine; et la somme de toutes ces espérances sera la valeur totale actuelle du capital proposé , payable aux conditions ci-dessus.
Ces diverses espérances annuelles étant réduites à leur plus simple expression, et arrangées les unes sous les autres, formeront seize séries verticales , dont la somme est la valeur actuelle demandée, et sera trouvée égale à
(i) Il ne sera pas inutile de remarquer ici qu'on obtiendrait également cette formule en prenant la somme des valeurs dé-
Corollaire.
265. Quand les trois têtes sont égales ou toutes du même âge que A , cette expression (d'après ce qui a été dit dans le corollaire du problème XXX) devient égale à
ou égale à la différence entre la valeur dune assurance de la somme proposée sur un groupe de deux têtes, et le tiers de la valeur d'une assurance de la même somme sur le groupe des trois têtes.
PROBLÈME XXXUI.
264. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A, pourvu que de trois têtes données A, B, C, cette tête A soit \a seconde on la troisième qui s'éteigne.
(luîtes des problèmes XXIX et XXX , ou la différence entre
s X ^— et la valeur déduite du problème XXXI : ce qui
est évident par la nature même de ces questions. En effet, la somme doit être reçue au décès de A, pourvu qu'il meure le premier ou le second^ ou , ce qui est la même chose, elle doit être reçue au décès de A, pourvu qu'il ne meure pas le troisième.
SOLUTION
La somme proposée peut être reçue à la fin de la première année si Tun ou l'autre de ces trois divers événemens a lieu. i°. Ou toutes les trois têtes s'éteindront dans Tannée , A étant mort le second ou le troisième; 2°. ou A et B mourront dans l'année, A étant mort le dernier et C vivant encore à la fin de l'année ; 5°. ou A et C mourront dans l'année, A étant mort le dernier et B vivant encore à la fin de l'année. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont , pour la première année ,
:^.(a—a).(b—b').(C'-'c) {a~à){b-^b')c (a'-a').{C'-c)b' ^ 3abc ' 7.abc ' nabc '
pliées par ^(i + f)""*, donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.
Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme peut être reçue si l'un ou l'autre de huit différens événemens a lieu. 1°. Ou les trois têtes mourront dans l'année, A étant mort le second ou le troisième; 2". ou A et B mourront dans l'année, A mourant le dernier et C étant encore vivant à la fin de l'année ; 5°. ou A et C mourront dans l'année, A mourant le dernier et B étant encore vivant à la fin de l'année, 4° ou A et B mourront dans l'année, C étant mort T. 1 . i3
( "94 ) dans une des années précédentes; 5"*. ou A et C mourront dans Tannée , B étant mort dans l'une des années précédentes; 6". ou seulement A mourra dans Tannée, B étant encore vivant a la fin de Tannée et C étant mort dans Tune des années précédentes; 7"*. ou seulement A mourra dans Tannée, C étant encore vivant à la fin de Tannée et B étant mort dans Tune des années précédentes; 8°. ou seulement A mourra dans Tannée, B et C étant morts dans Time des années précédentes. Les probabilités de ces divers événemens, pour la seconde année, sont respectivement
^(^af^a<',)(0^^b"Uc'—c") {a— a") {b'---b")c" 3al?c ' 'labc '
labc ' ab \ c J ^
{a— a"), je' C'Y, b\ {a'~a")b" / c\ ^r~ \ bP ab V c>
pliées par i^(i -j- p)"*, donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière nous pourrons trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, et la seconde de toutes ces espérances sera la valeur totale actuelle du capital proposé, dépendant des conditions cidessus.
Ces diverses espérances annuelles , étant réduites
( -95) à leur plus simple expression et arraugëes les unes sur les autres, formeront dix séries verticales, dont la somme sera trouvée égale à
Corollaire.
265. Quand toutes les têtes sont égales ou du même âge que A , le dernier terme de cette formule
devient égal à »^ — (d'après ce qui a déjà été dit
dans le problème XXIX, corollaire 2). Conséquemment l'expression entière se réduit alors à
. ^ i-^{^A- AAA) 3(i+ç)
c'est-à-dire est égale à la différence entre la valeur d'une assurance de la somme proposée sur une seule tête et le tiers de la valeur d'une assurance de la même somme sur le groupe des trois têtes.
(i) La valeur du capital payable aux conditions de ce problème est évidemment égale à la différence entre la valeur du même capital payable au décès de A , et sa valeur dépendant delà condition que A meure \e premier ; ou encore égale à la somme des valeurs trouvées pour les problèmes XXX et XXXI .
