PROBLÈME XXXIV

266. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A , pourvu que de trois têtes données A, B, C, cette tête A soit \a première ou la deniiere qui s'éteigne.

SOLUTION

La somme proposée peut être reçue à la fin de la première année si l'un ou l'autre de quatre difFérens événemens a lieu. t*. ou les trois têtes mourront dans Tannée, A mourant le premier ou le dernier; 9.^. ou A et B mourront dans l'année, A mourant le premier et C étant encore vivant à la fin de l'année; 3^ ou A et C mourront dans l'année, A mourant le premier et B étant encore vivant à la fin de Tannée; 4°- ^^ seulement A mourra dans Tannée, et B et C vivront encore à la fin de cette année. Les probabilités respectives de ces difFérens événemens sont

Zabc * labc ^

{a^a),{c-^c')b' {a~d)by

i.ahc abc '

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par s[\ +p)~', donneront l'espérance qu'on a

( '97 ) de recevoir la somme à la fia de la première aouee.

Mais à la fin de la seconde année et des suivantes, le capital désigné peut être reçu si Tun quelconque de sept différens événemens a lieu. i**. Ou toutes les têtes mourront dans l'année, A étant mort le premier Ou le dernier, 2°. ou A et B mourront dans Tannée , A étant mort le premier et C étant encore vivant à la tin de l'année; 5-. ou A et C mourront dans l'année, A mourant le premier et B étant encore vivant à la fin de Tannée; 4**' ou seulement A mourra dans l'année et B et C seront encore vivans à la fin de l'année; 5°. ou A et B mourront dans l'année , A mourant le dernier et C étant mort dans l'une des années précédentes ; 6". ou A et C mourront dans Tannée , A mourant le dernier et B étant mort dans une des années précédentes; 7'. ou seulement A mourra dans l'année, B et C étant morts dans une des années précédentes. Les probabilités de ces divers événemens pour la seconde année sont respectivement

:t(a'^a").(/y^b").{c'-^c") i^^l^iP' —J^")^ '5 abc ' labc '

{a'-^a"),{c'^c'')b" (a'^a")b"c" labc * abc '

lab

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par J (i + f)""", donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année.

( 198 ) De la même manière nous pouvons trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme a la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, et la somme de toutes ces valeurs annuelles sera la valeur totale actuelle de la somme proposée, payable aux conditions ci-dessus.

Ces diverses espérances annuelles, étant réduites à leur plus simple expression et disposées les unes sous les autres, formeront dix-huit séries verticales, dont la somme sera trouvée égale a

Corollaire.

267. Quand les trois têtes sont égales, ou du même âge que A , cette expression (d'après ce qui a été dit dans le corollaire du problème XXX),

devient égale à ^ X tt — t"^^ — '- » c'est-à-

dire égaie à la différence entre les valeurs d'une assurance de la somme proposée sur une seule tête

(i) On obtiendrait également cette formule en prenant la somme des valeurs trouvées au moyen des problèmes XXIX

et XXXI : ou en prenant la difference entre s X ; t"^

et la valeur trouvée au moyen du problème XXX.

( ^99 ) et sur un groupe de deux têtes , plus les deux tiers de la valeur d'une assurance de la même somme sur le groupe des trois têtes.

S colle.

268. Si l'on ajoute ensemble les valeurs actuelles de la somme proposée, trouvées au moyen des problèmes XXXII , XXXIIÏ et XXXIV, elles seront trouvées égales à deux fois la valeur actuelle de la même somme , payable au décès de A , c'est-à-dire que la somme de ces trois valeurs sera égale à

I — pA