PROBLÊME XXXV

269. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A ou de B, pourvu que Y une de ces deux têtes soit la première qui s'éteigne de trois têtes données A, B, C.

SOLUTION

La somme proposée peut être reçue à la fin d'une année quelconque , si l'un ou l'autre de six événemens différens a lieu , i**. ou toutes Iês têtes mourront dans l'année , A ou B mourant le premier ; 2**. ou A et B mourront tous deux dans l'année , et C vivra encore à la fin de Tannée ; 5°. ou A et C mourront tous deux dans l'année , A mourant le

( ^^^ ) premier et B étant encore vivant à la fin de l'année; 4». ou B et C mourront tous deux dans Fannée, B mourant le premier et A étant encore vivant à la fin de l'année ; 5\ ou seulement A mourra dans l'année, et B et C seront encore vivans à la fin de l'année; 6\ ou seulement B mourra dans Tannée , et A et C seront encore vivans à la fin de l'année. Les probabilités de ces divers événemens , pour la première année, sont respectivement

3û/^c ' abc > ^^c '

{b—b'),{c^c')a! {a-^a')b'c' ib^b')dc'

^abc ' abc ^* '^c '

pliées par ^(i+^)-", donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

Delà même manière, on peut trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année, de la troisième et de toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine; et ces diverses espérances annuelles étant réduites à leur plus simple expression et arrangées les unes sous les autres, comme dans le problème XXIX, formeront la série suivante :

j___ ^^abc __ 4^'^, ^bc^ ab^cj ab'c . a'bc' , labc' ^a'b'c " 6( l-J-p) V abc abc abc abc abc '^ ~^ ^ "^^ ;i^~

6{i-^fy\ abc abc abc abc abc '^"^b^ "^ "aFc ahT^

, ' __(^i^"^"c" ^'''''^''^^^^^''.^'^'y^^^";^ fb-'c'" ^.a"b"c"' ^a'^b'^c"''

6(l+p,iA abc abc abc'^ abc abc "*" abr'^"^c abr~

etc. etc. etc. etc. etc. etc.

etc.

dont la somme sera la valeur totale actuelle demandée.

270. Mais, si nous comparons cette série générale avec celle de la page lyS, nous verrons que les diverses séries verticales dont elle est composée sont presque les mêmes que celles données à cette page, et la seule différence qui les distingue est dans le multiple commun, et dans le signe dont sont affectées la cinquième et la sixième séries verticales. Par conséquent, la somme de ces diverses séries peut être facilement obtenue de la manière employée plus haut. Ainsi, la première et la seconde séries verticales seront trouvées égales à

la troisième et la quatrième, égales à

la cinquième et la sixième égales à

6/.L (i+e) "— ^^/^-^J et la septième et la huitième, égales à

^rii-^ABcy -,

3cL— (TT^) ^BC^ c,j

Donc, la valeur totale de la série générale donnée ci-dessus sera égale à s multiplié par

Comme j aurai occasion de me référer à cette formule dans quelques-uns des problèmes suivans, il sera convenable de la représenter par une expression plus simple; soit donc ^B^ cette expression , cest-à-dire désignons par JB^ la valeur actuelle de I fr. , paj^able aux conditions ci-dessus; par conséquent, s X JB^ désignera la valeur actuelle de la somme proposée dépendant des mêmes circonstances (i).

Corollaire.

271. Quand les trois têtes sont égales, ou du même âge que A , les trois derniers termes de l'ex pression ci-dessus se détruisent l'un l'autre , et la série entière se réduit alors à

2^ I — e,AAA

(i) En comparant cette formule à la seconde formule di probl.XXïX,corol. i, on verra que ^B^=:^-^t Q"*^.

( 5o5 ) ou aux deux tiers de la valeur actuelle de la somme proposée , payable a la dissolution du groupe des trois têtes.

Observations sur la méthode dont M, Morgan s'est servi pour résoudre ce problème,

^72i. Je ne puis laisser passer cette occasion d'appeler encore une fois l'attention du lecteur sur la manière bizarre et confuse dont M. Morgan trouve la valeur de la série générale de la page 200 ; et ce qui me porte à le faire , c'est qu'il parait qu'à mesure que M. Morgaa entre plus avant dans ce sujet, il répand dans ses développemens encore plus de confusion et de désordre. Je dois toutefois commencer par demander beaucoup de patience au lecteur, avant de le conduire à travers les détours de ce labyrinthe mathématique.

M. Morgan égale à la série suivante la somme des espérances qu'on a de recevoir le capital proposé aux conditions stipulées dans le problème.

~«lcS +

•c Vo

«IcS

~Jc5i 1

X «iJS

ft^^

273. Or, les six dernières series latérales de l'expression générale ci-dessus peuvent se réduire aux deux suivantes :

s r{b'-b')ac {b'^b')dc"-\ (i H- ç) L 2«^c Q.abc J

s rjb'-- b")a"c' (ilzi^V'n («-Hç)'L 2aô^ "^ labc J

+ etc. , etc. ;

dans ce cas , cette expression , au lieu d'être composée de vingt différentes séries, pourra se réduire à n'en avoir que douze. Ou , si on les réduisait à leur plus simple expression, elles formeraient précisément la même expression que celle de la page 200 , qui ne contient c^uehuit termes différens. Mais, par l'effet de cette manière négligente et confuse de procéder, on voit que la formule qui désigne la valeur d'une somme dépendant de la condition mentionnée dans ce problème ne contient (par la méthode de M. Morgan) , pas moins de vingt différens termes; et quand on considère que pour obtenir ces termes il est nécessaire d'ajouter de trente à quarante séries différentes , on est frappé d'étonnement , et Ton se demande quel est le motif qui a pu porter l'auteur à poursuivre une aussi étrange méthode.

274. Il y a cependant encore une autre partie des raisonnemens de M. Morgan , sur laquelle je

juge également nécessaire de faire quelques observations. Il dit que la formule donnée plus haut exprime la valeur exacte de la quantité cherchée quand C est la plus âgée des trois têtes, mais que (( quand A est la plus âgée , // faut changer les » caractères» , et, dans ce cas, il désigne par une autre formule la valeur cherchée , et cette formule diffère beaucoup de l'autre pour la forme et les caractères. Cependant quand on la dépouille des quantités inutiles et étrangères qu'elle contient, elle devient absolument semblable à celle que j'ai donnée à la page 202, excepté la quantité

qu'on a remplacée par son égale

275. M. Morgan ne peut ignorer que la valeur de l'assurance proposée ne dépend pas, dans ce cas, des relations d'âge qu'ont entre elles les têtes en question. Car quelque valeur qu'il donne aux âges de A, B et C, et quelque changement qu'il fasse subir aux caractères , il devra en venir toujours à la même série générale que j'ai donnée à la page 200, dont la somme peut s'exprimer de trois manières différentes, selon qu'on ajoute différemment les diverses séries verticales qui la composent. Et chacune de ces formules désignera la valeur de la somme

( 207 ) proposée, soit que A, B ou C soit la plus vieille des trois têtes.

Il est d autant plus nécessaire de se pénétrer de la justesse de ces observations, que la solution du dernier problème nous mettra à même de déterminer la valeur des sommes dépendant des conditions mentionnées dans les problèmes suivans. Conséquemment, plus nous simplifierons la dernière formule , plus nous aurons de facilité pour résoudre ces problèmes. Cette raison suffira donc pour excuser cette digression.

PROBLÈME XXXVl.

276. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A ou de B, pourvu que ïune de ces têtes soit la seconde qui s'éteigne de trois têtes données A, B, C.

SOLUTION

La somme proposée peut être reçue à la fin de la première année, si Tun ou l'autre de quatre événemens différens a lieu: i*". ou les trois têtes mourront dans Tannée , iV ou B mourant le second ; 2". ou A et B mourront tous deux dans l'année, et C vivra encore à la fin de Tannée ; 5°. ou A et C mourront tous deux dans Tannée, A mourant le dernier, et B étant encore vivant à la fin de cette année ; 4°* ou B et C

mourront tous deux dans cette année , B mourant le dernier, et A étant encore vivant à la fin de cette année. Les probabilités de ces divers événemenssont respectivement

3abc ^ abc '

{a — a) . (c — c)b' a. (b — b') . (c — c')d labc labc '

expressions qui , étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i + f)~\ donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

Mais, dans la seconde année et les suivantes, la somme peut être reçue si l'un de onze différens événemens a lieu \ I^ ou toutes les têtes mourront dans l'année, A ou B mourant le second; 2^ ou A et B mourront dans Tannée , et C sera encore vivant à la fin de cette année ; 5*. ou A et C mourront dans l'année , A mourant le dernier et B étant encore vivant à la fin de l'année ; 4°- ou B et C mourront dans l'année, B mourant le dernier et A étant encore vivant à la fin de Tannée ; 5\ ou A et B mourront dans Tannée, C étant mort dans Tune des années précédentes ; 6". ou A et C mourront dans Tannée , A mourant le premier, et B étant mort dans Tune des années précédentes; 7°. ou B et C mourront dans Tannée , B mourant le premier, et A étant mort dans Tune des années précédentes; 8^ ou seulement A mourra dans Tannée , B étant encore vivant à la fin de Tannée et C étant mort dans une des

( 2t)g ) années précédentes ; 9". ou seulement A mourra dans Tannée, C étant encore vivant à la fin de Tannée et B étant mort dans une des années précédentes; 10°. ou seulement B mourra dans Tannée, A étant encore vivant a la fin de Tannée et C étant mort dans une des années précédentes; 1 T. ou B seulement mourra dans Tannée, C vivant encore à la fin de Tannée et A étant mort dans une des années précédentes. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont, pour la seconde année ,

^(a^a").(b'-'b").(c'--c") (a'-a").(b'—b")c" 3abc ' abc '

labc labc '

~~âb ^\ c)' lac V b)

~~' 2^c "~V «> ab-'V c)'

Vc V bP ab V ^/

bT V aj'

expressions qui , étant ajoutées ensemble et multipliées par ^ (i-Hp)""''? donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière, on trouvera les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine ; la TI. i/f

( 2ÏO )

somme de toutes ces valeurs annuelles sera la valeur totale actuelle de la somme proposée, payable aux conditions ci-dessus.

Mais ces diverses espérances annuelles , étant réduites à leur plus simple expression et arrangées les unes sous les autres, formeront dix-huit séries verticales, dont la somme sera trouvée égale à

Corollaire.

2ill . Quand toutes les têtes sont égales, ou du

même âge que A, cette expression (d'après ce qui

a été dit dans le corollaire du prob. XXXj devient

r y y is i — p {3AA — lAAA) ,

eo[ale a -5- X — 7-7-;^ : ou aux deux tiers

de la valeur actuelle de la somme proposée payable à l'extinction de deux quelconques des trois têtes données.