PROBLÈME XXXVII

278. Déterminer la valeur actuelle d'un capital, payable au décès de A ou de B, pourvu que Y une de ces têtes soit la dernière qui s'éteigne de trois têtes données A, B,C. î -

SOLUTION

La somme proposée ne peut être reçue à la fin de la première année que dans un seul cas: celui où toutes les têtes s'éteindraient dans l'année, C étant mort le premier ou le second, La probabilité de cet événement est

3abc '

expression qui, étant multipliée par ^(i+p)~', donnera l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme proposée sera reçue si l'un de six différents événemens a lieu: i° ou les trois têtes mourront dans l'année , C étant mort le premier ou le second ; 2" ou seulement A et B mourront dans l'année , C étant mort dans l'une des années précédentes ; 3° ou A et C mourront tous deux dans l'année, A mourant le dernier et B étant mort dans une des années précédentes; 4° ^^ ^ ^* ^ mourront dans l'année, B mourant le dernier et A étant mort dans une des années précédentes ; 5° ou seulement A mourra dans l'année, B et C étant morts dans une des années précédentes ; 6° ou seulement B mourra dans l'année, A et C étant morts dans une des années précédentes. Les probabilités de ces divers événe-

mens pour la seconde année sont respectivement

%{a'—a'').{b'-b").{c'-^c") {a-.a"),{b'^b")/ c\ Zabc ' ab V c )'

0aWMc^--O / j ^\ {b'—b"),ic-c")/ ^ €^\ lac \ b )^ ibc \ a J*

expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i+f)""* donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière, nous pouvons trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année , et de toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, et la somme de toutes ces valeurs annuelles sera la valeur totale actuelle du capital proposé, payable aux conditions ci-dessus.

Ces diverses espérances annuelles étant réduites à leur plus simple expression et arrangées les unes sous les autres, formeront vingt-deux séries verticales, dont la somme sera trouvé égale à

Corollaire.

279. Quand les trois têtes sont égales, ou du même âge que A , cette expression devient égale à

-^ X — ^^ ; ~ ; ou aux deux tiers de

la valeur actuelle de la somme proposée, payable au dernier décès des trois têtes.

S colle.

280. Si Fou ajoute ensemble les valeurs actuelles du capital proposé , obtenues au moyen des problèmes XXXV , XXXVI et XXXVII , on les trouvera égales à la valeur actuelle de la même somme, payable au décès de A , ajoutée à la valeur actuelle de la même somme , payable au décès de B ; c'est-a-dire que la somme de ces trois valeurs sera

trouvée égale à s -—— + 7——, |*