DES ANNUITÉS VIAGÈRES EN GENERAL

28. Pour déterminer la valeur actuelle de toute annuité, il faut calculer la valeur actuelle de la rente de chaque année , et ajouter les unes aux autres ces valeurs partielles ; on aura ainsi la valeur totale actuelle de l'annuité en question. Cette valeur dépendra toujours du taux de l'intérêt; et dans tout le cours de cet ouvrage j'ai représenté ce taux par p : conséquemment i franc, à la fin d'une année, vaudra I -H f > Gt\3i valeur actuelle de i franc, payable après 1, 2, 5, etc. années, sera représentée par

La somme des termes de cette série , continuée jusqu'au /z'''"' terme inclusivement, ou

(i+çr'-f(i-i-cn+(i+f)-'+....(i+cr"= — ^ ^^^ ,

représentera la valeur actuelle d une annuité de i fr. pendant n années : si l'on continuait cette série jusqu'à l'infini, la somme de ses termes ou -exprimerait la valeur actuelle de la perpétuité de la même annuité. J'ai expliqué en détail , dans mon traité sur la Théorie de V Intérêt et des Annuités^ les principes sur lesquels sont fondées ces observations y mais j'ai

cru nécessaire de les rappeler ici , afin de prévenir toute confusion dans la discussion des problèmes suivans.

29. Mais dans les annuités viagères, la rente de chaque année ne doit être touchée qu'à certaines conditions, et par conséquent les valeurs actuelles que nous venons de trouver doivent être diminuées en raison de la probabilité qu'on a de ne pas recevoir la rente. J'ai toujours supposé que cette rente fût de i fr. par an; le résultat indiquera donc combien cette annuité vaut de fois la rente d'une année, et il suffira de multiplier cette valeur par la quotité de toute autre rente viagère pour en avoir la valeur actuelle.

PROBLÈME l.

30. Trouver la valeur d'une annuité viagère payable à un groupe quelconque de têtes, c'est-à-dire aussi long-temps que ces têtes subsisteront ensemble.

SOLUTION

Soient A, B, C, etc., les têtes sur lesquelles est constituée l'annuité, et désignons, comme au n° 25, les probabilités que chacune de ces têtes a de vivre 1, 2, 5 . . . armées. Il suit là (n' 24) , que la probabilité que toutes ces têtes ont de vivre simultanément à la fin de la première année est --— H-, expression qui , multipliée par(i ^-f-f^"*' ou la valeur actuelle de i franc payable dans vm an , doimefa

' — . ' V ' ~ pour la valeur actuelle de la rente de la

première année , ou Yespérance qu'on a de recevoir cette somme, toutes les têtes proposées subsistant à la fin de la première année. De la même manière, la probabilité que ce groupe de têtes a de subsister

à la fin de la seconde année est -j- — , exprès-

sion qui, multipliée par (i — f)"~*> ou la valeur actuelle de i franc payable dans 2 ans, donnera

-, — . / ' ' - pour la valeur actuelle de la rente

1 1 •4-ç)'' abc ^

de la seconde année. De même encore : — . ,'', —

{x-^-^Yabc

donnera la valeur actuelle de la rente de la troisième année. Si nous opérons de la même manière pour toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , la somme de tous ces termes

I ^a'Uc'... , c^'b"c\.. , d''b"'c'\.. ^ ^/3y...."}

sera la valeur totale actuelle de l'annuité, n désignant la différence d'âge entre la plus âgée des têtes proposées et la plus âgée de celles marquées dans la table d'observations.

Corollaire i.