PROBLÈME XXXIX
285. Déterminer la valeur actuelle d'une somme payable au décès de A ou de B , pourvu que Yuîie de ces têtes soit la seconde ou la troisième qui s'éteigne de trois têtes données A, B^ C.
•ji)
SOLUTION
La somme désignée peut être reçue à la fin de la première année si Tun de quatre difFérens événemens a lieu : i°. ou toutes les têtes mourront dans cette année; 2^. ou A et B mourront dans cette année, et C sera encore vivant à la fin de cette année ; 3°. ou A mourra après C dans cette année, et B sera encore vivant à la fin de l'année; 4^. ou B mourra après C dans cette année , et A sera encore vivant à la fin de Tannée. Les probabilités respectives
( ^'6) de ces divers évënemens sont
abc ^ abc *
labc labc '
pliées par ^(i + f)~S donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.
Mais dans la seconde année et les suivantes, jusqu'à l'extinction de la plus vieille tête, la somme désignée peut être reçue si l'un ou l'autre de treize diflerens événemens a lieu : i". ou toutes les têtes mourront dans l'année; 2°. ou A et B mourront dans l'année, et C sera encore vivant à la fin de l'année; 5^. ou A et C mourront dans l'année, A mourant le dernier et B étant encore vivant à la fin de Tannée ; 4°. ou B et C mourront dans l'année, B mourant le dernier et A étant encore vivant à la fin de l'année ; 5°. ou A et B mourront dans l'année, C étant mort dans une des années précédentes; 6°. ou A et C mourront dans Tannée , B étant mort dans une des années précédentes; 7". ou B et C mourront dans l'année, A étant mort dans une des années précédentes; 8°. ou seulement A mourra dans l'année, B vivant encore à la (in de l'année, et C étant mort dans une des an-^ nées précédentes; 9°. ou seulement A mourra dans l'année, C vivant encore à la fin de l'année et B étant mort dans une des années précédentes ; lO". ou seu^ lement B mourra dans l'année, A vivant encore à
la fin de Tannée et C étant mort dans une des aftnëes précédentes; 1 1**. ou seulement B mourra dans Tannée, C vivant encore à la fin de Tannée et A étant mort dans une des années précédentes; 12**. ou seulement A mourra dans Tannée, et B et (useront morts dans une des années précédentes ^ B étant mort le premier; iS". ou seulement B mourra dans Tannée, et A ei C seront morts dans une des années précédentes ^ A étant mort le premier.
Les probabilités respectives de ces divers événemens sont
abc ab
f^a'^a"),{c'—c")b" (b'—b"),{c—c")a" labc ' 'labc '
ab V cj' ^T' V hP
"V— ^> ab y—'^p V ^'\ {b'-b")d' f c;\
ac V~ bj' ab V""c >
bc
bc b'—b"
expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par 6"(i ~j- f)~% donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière nous pouvons trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la
troisième année ou de toutes les années suivantes; et si Ion réduit à leur plus simple expression et qu'on arrange les unes sous les autres ces diverses espérances annuelles, elles formeront seize séries verticales , dont la somme, si on les prolongeait jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , serait trouvée égale à s multiplié par
2(1 -fç) 2(1 +ç) • a ^*' 2(I4-Ç) 2(1 +7j-^
(i -t- ç; ' la '10 * ic
Mais cette expression, indépendamment du multiplicateur commun s , peut se réduire à
■ ;: ; — t — ^— • AJj
vu.
pour plus de commodité, je la représenterai par %.
284. Maintenant, puisque une partie seulement des diverses séries verticales précitées (séries qui sont
( ^19 ) representees par les quantités ci-dessus) doivent être continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, et qu'elles dépendent de l'âge comparatif des têtes proposées, il sera nécessaire de diviser la discussion du problème en trois parties distinctes , selon que l'une ou l'autre des têtes proposées sera la plus âgée des trois; car dans tous les cas, ces diverses se' ries verticales ne doivent être continuées que jusqu'à Vextinctlon de la plus vieille des trois têtes ^ parce que, après cette époque, nous pouvons obtenir une valeur plus correcte de toutes les espérances ultérieures au moyen du premier lemme du chapitre V.
285. P" CAS. Soit A la plus vieille des trois têtes; dans ce cas toutes les séries verticales dans lesquelles la tête A est impliquée doivent évidemment être continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine : mais toutes les séries dans lesquelles la tête A ne se trouve pas impliquée ne doivent être continuées que jusqu'au n''"'' terme. Conséquemment les quantités
'i — gg i^BC i-hB'C b^
deviendront
et
donc îa somme des n premiers termes des diverses series verticales précitées (c'est j^à-d ire la somme de toutes les espérances des n premières années), deviendra égale à s multiplié par
' 2(i-f-ç) "^ bc ^ ^^^^^
Mais après le décès de A , les espérances relatives aux diverses chances dont dépend le paiement du capital, peuvent être plus correctement exprimées au moyen du premier lemme du chapitre V. Car, puisque la chance qu'on a de recevoir la somme à la fin d'une quelconque de ces années dépend de la mort de B dans cette année, et de la mort de A antérieurement à celle de C dans une des années précédentes (on a vu dans le lemme que cette dernière condition a une probabilité représentée par 'ZJt), il s'ensuit que la somme des espérances de ces diverses années, continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, sera égale à
expression qui, d'après le problème XXÏI, corollaire T , est égale à
Par conséquent cette valeur, ajoutée à la somme des n premiers termes des diverses séries verticales précitées, exprimera la valeur totale actuelle du capital désigné dans le cas proposé , et sera trouvée égale à^ s multiplié par
(\^^\ X (t — pBo)0 + 1- [(ï + BoCo)/3 (, .4. B'ocoj^/]
286. II* CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas toutes les séries collatérales dans lesquelles la tête B se trouve impliquée doivent être continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine; mais toutes les séries dans lesquelles elle ne se trouve pas impliquée ne devront être continuées que jusqu'au j^ième terme seulement. Par conséquent les quantités
deviendront respectivement égales à
r.±AC .±A^ X ^-^ f I 4- p)-"1 et V'-^^'£ l i±£!£ '!Vf, , pwl.
^' L.2(i-f-;ç) 'a 2(i-hç) * ac^^^^^ J*
donc la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera égale à s multi-
piië par
I + ^-Co .^
Mais après le décès de B , les espérances relatives aux diverses chances dont dépend le paiement de la somme peuvent être exprimées plus correctement pour toutes les années suivantes au moyen du premier lemme du chapitre V. Car, puisque la chance qu'on a de recevoir la somme à la fin d'une quelconque de ces années dépend de la mort de A dans l'année, et de celle de B antérieurement à celle de C dans une des années précédentes (on a vu dans le lemme que la probabilité de cette dernière condition est représentée par (p) il s'ensuit , d'après ce qui a été dit pour le cas précédent , que la somme de toutes les espérances de ces diverses années, continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, sera égale à
Conséquemment cette valeur, ajoutée à la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées, exprimera la valeur totale actuelle de la somme donnée dans le cas proposé , et sera trouvée égale à s multiplié par
287. IIP CAS. — Soit C la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , toutes les series collatérales dans lesquelles la tête" C se trouve impliquée doivent être continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine; mais toutes les séries dans lesquelles la tête C n'est pas impliquée doivent être continuées jusqu'au n''"" terme seulement. Conséquemment les quantités
deviendront respectivement égales à
Ui4^~ ^+^- ^ ^' + «^ J'
donc , la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera égale à s multiplié par
ab ^ ^^^ 2(i-fç) ab^^^^^
Mais après le décès de C, la chance qu'on a de recevoir la somme désignée à la fin d'une des années suivantes dépendra de l'un de ces trois événemens : i ''. ou Vune des têtes A et B mourra dans Tannée; 2°. ou seulement A mourra dans Tannée, B étant mort avant C dans une des années précédentes; 5**. ou seulement B mourra dans Tannée, A étant mort avant C dans une des années précédentes.
La somme de toutes les espérances qu'on a de recevoir la somme proposée dans le premier cas, pour toutes lesannées ultérieures] usqu'aux dernières limi tes delà vie humaine, est, par le prob. XXII, cor. i, égale à
et la somme de toutes les espérances relatives aux deux autres cas est, comme précédemment, égale à
^•<PX^^-^.-(.-f-p)-+..<e^X^.'j(.+p)-.
Par conséquent, ces valeurs, ajoutées à la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées , exprimeront la valeur totale actuelle de la somme donnée dans le cas proposé,, et seront trouvées égales à s multiplié par
Corollaire.
288. Quand les trois têtes sont égales, ou du même âge que A, les trois dernières quantités de la formule représentée par J5) sannullent entièrement, et l'expression générale devient égale à
Scolii
289. Comme dans les problèmes suivans on aura souvent occasion de rappeler les expressions déduites de ce problème dans chacun de ses trois cas , il sera plus commode de les représenter par un caractère simple. Soient donc
Alors la valeur actuelle de la somme proposée dependant de la condition mentionnée dans le problème sera représentée respectivement par ces diverses formules
s (B — v) s CS) — x) s {n — j ^ z);
selon que A , B ou C sera la plus vieille des trois têtes.
