PROBLÊME XL

290. Déterminer la valeur actuelle d'une somme payable au décès de A ou de B , pourvu que Vune de ces tètes soit la première ou la dernière qui s'éteigne de trois têtes donnés A, B, C.

SOLUTION

Le paiement de la somme proposée à la fin de la première année dépendra de l'un de ces six différents événemens: i*. ou toutes les têtes mourront dans Tannée ; 2**. ou A et B mourront dans l'année, et C vivra encore à la fin de l'année ; 5°. ou A et C mourront dans l'année , A étant mort le premier tit B étant encore vivant à la fin de l'année; 4°- *^^*

B et C mourront dans Tannée , B étant mort le premier, et A étant encore vivant à ia fin de Tannée; 5°. ou seulement A mourra dans Tannée, et B et C seront encore vivans à la fin de Tannée ; 6". ou seulement B mourra dans Tannée, et A et C seront encore vivans à la fin de Tannée. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont, pour la première année

(a — a') (b — b')(c — c) {a^d) {b — b')c {a — a) {c — ct\y abc ' abc labc

{h-^b'),{c^c)a' {a—al)b'c' ^ {b-^b')dc

labc ' abc * abc

, et

expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(î+p)~"', donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année. Mais dans la seconde année et les suivantes , la somme désignée peut être reçue si Tun de neuf difFérens événemens a lieu; ce sont, en outre des six que nous venons d'énumérer, les suivans: 7''. ou A et B mourront dans Tannée , C étant mort dans une des années précédentes; 8". ou seulement A mourra dans Tannée et B et C seront morts dans une des années précédentes ^ C étant mort le premier; g*', ou seulement B mourra dans Tannée e\ A et C seront morts dans une des années précédentes , C étant mort le premier. Les probabilités respectives de ces divers événemens pour la seconde année sont

{a'-^a").{b'^b"){c'—c") {a'-a"){b'-^b")c" abc ' abc '

( 228 ) (u'^a").{c'^c")b" (b'-b"),{c'—c")a" (a^a") b"c" 2.abc ' labc ' abc '

{b'^b")a"c" (a'^a").{b'^b") / <^\ '^^bT'' ab V c )'

expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i + p)"* donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière , nous trouverons les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la Iroisième année et de toutes les années suivantes, et si l'on réduit à leur plus simple expression ces diverses espérances annuelles et qu'on les dispose les unes sous les autres, elles formeront seize séries collatérales, dont la somme, si on les continuait jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, serait trouvée égale à s multiplié par

i^AB' b' \-\-AC , i^A'C a iVBC

2(I+Ç) ' 2^ 2(l-|~ç) 2(l-fç) • a 2(1 -l-ç)

expression, qui dépouillée du multiple commun s^

peut se réduire à la formule

que pour plus de commodité je représenterai par (Ko.

291. V"^ CAS. — Soit A la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées, sera en sui-^ vaut la même opération que dans le premier cas du problème précédent, trouvée égale à

2(i-4.ç) • bc ^^^P^* •

Après le décès de A, toutefois, les espérances relatives aux conditions du problème peuvent être plus correctement exprimées pour toutes les années suivantes au moyen du second lemme du chapitre V; car, puisque la chance qu'on a de recevoir la somme à la fin d'une quelconque de ces années dépend de la mort de B dans l'année et de la mort de A antérieurement à celle de C dans une des années précédentes (on a vu dans le lemme que la probabilité de cette dernière condition est représentée par i — ^)^

( 25o ) nous trouverons que ia somme des espérances ultérieures jusqu'aux dernières limites de la vie humaine est égale à ^( i — ^) X '"^ . ^ (i -f- p)""".

Conséquemment cette valeur ajoutée à la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées , donnera «y ((È + i») pour la valeur totale actuelle demandée.

292. IP CAS. — Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera , en opérant de la même manière que dans le second cas du problème précédent, trouvée égale à

^ 2(i-hç) ^ a ^^"*-^^ "^ 2(i-fç) ' ac ^'-^^)

-^4:^x«TC'+r")-

Après le décès de B, toutefois, les autres espérances peuvent être exprimées plus correctement pour toutes les années suivantes au moyen du lemme que nous avons cité plus haut; car, puisque la chance qu'on a de recevoir la somme à la fin d'une quelconque de ces années dépend de la mort de A dans l'année et de la mort de B antérieurement à celle de C dans une des années précédentes (on a vu dans le lemme que la probabilité de cette dernière condition est représentée par i — (p) , nous trouverons que la somme des espérancjs de ces années , continuées

( 231 ) jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , est

ëgaîe à ^"(1 — (p) X j-tty * ~ (^ + f)~"- ^^^ conséquent cette valeur ajoutée à la somme des n premiers termes trouvés ci-dessus , exprimera la valeur totale actuelle de la somme donnée dans le cas proposé. Donc cette valeur totale est égale à

295. IIP CAS. — Soit C la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera, en opérant de la même manière que dans le troisième cas du problème précédent, trouvée égale à

Mais, après le décès de C, les espérances relatives aux conditions du problème peuvent être exprimées plus correctement pour toutes les années suivantes au moyen du lemme que nous avons cité plus haut: car la chance qu'on a de recevoir la somme à la fin d'une de ces années dépendisa de l'un de ces trois événemens : i*. ou A et B mourront tous deux dans l'année; 2*'. ou A mourra dans l'année, B étant mort avant C dans une des années précédentes; 5*. ou B mourra dans l'année, A étant mort avant

( :252 ) C dans une des années précédentes. Les probabilités de ces trois événemens pour la {n + i)''"^

année sont respectivement ^ ~ -, — r i-(p^j

et — T- f I — *zêr J; expressionsquielantajoutees

ensemble et multipliées par (i+p)"^""*"'^ donneront Fespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la (tz+i)'""' année.

De la même manière , les probabilités de ces événemens pour la (71+2)^''"' année sont respecti-

yement -^ , — — (i-^p-.^)

et — -. — ( 1 — ^ j , expressions qui étantajoutées

ensemble et multipliées par (i+p)"^""^''^ donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la in + 2)"'"' année. En raisonnant de la même manière , on trouvera l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la (tz+S)*^""" année, et ainsi de suite jusqu'aux dernières limites de la vie humaine ; la somme de toutes ces espérances annuelles, réduites à leur plus simple expression, sera trouvée égale à s multiplié par

( 235 ) formule qui étant ajoutée à la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées exprimera la valeur totale actuelle de la somme désignée dans le cas proposé. Donc cette valeur totale sera égale à «y (® +7" + ;z).

Corollaire.

294. Quand toutes les têtes sont égales ou du même âge que A, les trois dernières quantités de la formule représentée par (Ê s'annullent entièrement , et l'expression générale devient alors