A—AA^ AAA

Scolie.

295. On voit que la valeur actuelle du capital désigné, payable aux conditions stipulées dans le problème, ajoutée à la valeur actuelle de la même somme , payable aux conditions stipulées dans le problème précédent , donne une somme égale à

s X ^^! .'-: — - : d'où il suit que la valeur d'une

d'elles étant déterminée, on pourra facilement obtenir l'autre en retranchant cette valeur de l'expression générale que nous venons de donner ,

( 254) pourvu que les âges soient les mêmes dans les deux exemples.

PROBLÈME XLl.

296. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A , pourvu que cette tête soit la seconde qui s éteigne de trois têtes données A,B,C, et pourvu que C meure avant B.

SOLUTION

La chance qu'on a de recevoir le capital désigné à la fin de la première année dépend de l'un de ces deux événemens : i°. ou toutes les têtes mourront dans cette année, C étant mort le premier et A le second; ou A et C mourront dans Tannée, A étant mort le dernier et B vivant encore à la fin de l'année. Les probabilités de ces deux événemens sont respectivement

6abc labi

expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par 5'(i-f-p)'~' donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année. Mais la chance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année et de toutes les annérs

( 255 ) suivantes dépendra de Tuu des quatre e'vënemens difFërens : ï°. ou toutes les têtes mourront dans Tannée , C mourant le premier et A le second ; 2°. ou A et C mourront dans Tannée , A mourant le dernier et B vivant encore à la fin de Tannée; 5°. ou A et B mourront dans Tannée, A mourant le premier et C étant mort dans une des années précédentes; 4°. ou seulement A mourra dans Tannée , B vivant encore à la fin de Tannée et C étant mort dans une des années précédentes. Les probabilités de ces divers événemens pour la seconde année sont respectivement

6abc ' lah '

(^Z=f:):i^'l (,£:) et ^^X (.-^-);

'y.ab \ c J ab \ c / ^

expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par i^(i + p)""*, donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière nous pouvons trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine ; la somme de toutes ces espérances annuelles sera la valeur totale actuelle du capital désigné payable aux conditions du problème.

Ces diverses espérances étant réduites à leur plus simple expressio?^ et disposées les unes sous les autres, formeront douze séries collatérales , dont îa

( 256 ) somme , ou la valeur actuelle demandée, sera trouvée égale à .9(^^ — ^^^).

Corollaire.

297. Quand toutes les têtes sont égales, ou du même âge que A, cette expression (d'après ce qui a été dit au corollaire du prob. XXX), devient égale

^ «y X ^, — :-r : cest-a-dire égale a la

6(1 -fç) ' ^

sixième partie de la valeur actuelle du capital proposé payable à Textinction de deux quelconques des trois têtes données.