PROBLEME XLII

298. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A, pourvu que cette tête soit la dernière qui s'éteigne de trois têtes données A,B,C, et pourvu que C meure avant B.

SOLUTION

La somme désignée ne peut être reçue à la fin de la première année que si les trois têtes meurent dans cette Tannée et dans l'ordre indiqué dans le problème ; la probabilité de cet événement est

:^ L^ ^ ^ expression qui étant multipliée

par ^(i-f-p)~S donnera Tespëra nee qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme proposée peut être reçue si l'un ou l'autre de trois dliTërens événemens a lieu; i". ou toutes les têtes mourront dans l'année, dans l'ordre désigné; 2°. ou A et B mourront dans l'année, A étant mort le dernier et C étant mort dans une des années précédentes ; 5°. ou seulement A mourra dans l'année, et B et C seront morts dans les années précédentes 5 C étant mort le premier. Les probabilités respectives de ces divers événemens pour la seconde année sont

{a'— a!') jb'—b") {c—c") {a!-~a"){b'^b") / ___£^\ 6a6c ' lab \ c ) ^

expressions qui étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i+f)""^, donneront Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fia de la seconde année. De la même manière nous pouvons trouver les espérances qu^on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes jusqu'à l'extinction de la plus vieille des têtes proposées; et si ces diverses espérances annuelles sont réduites à leur plus simple expression et disposées les unes sous les autres, elles formeront quatorze séries collatérales; dont les n premiers

termes varieront, selon l'âge comparatif des têtes en question.

299. l" CAS. — Soit A la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, les diverses séries dont nous parlons doivent être continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , parce que la tête A est impliquée dans chacune d'elles. Par conséquent, la valeur de ces séries sera égale à s multiplié par

i — eJ , JB . T> a, i-i-JC

2(1 -h ç) 2 ' la 2(1 -fç)

ju ^+^'^ ^ i i-^i^BC i+A'BC a

"*" 2(1 -f- e) • ~a "T- 6(i4-çr "ëcTTçT • a

expression qui, indépendamment du multiplicateur commun s , peut se réduire à

I — g (3^ + ABC) — ZAC AB 6(1 -h ç) "^2

, r ^{iJr'^A'C-A'BC)a! ^ J nr\n'~\

+ ra L ( iT^) {^A,B^ABC)a^\^

et que je représenterai par S, Donc quand A est la plus vieille des trois têtes, la valeur actuelle de la somme donnée sera représentée par s x -^^

500. IP CAS. — Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera trouvée égale à

«c ^ ' ^ 2(1 -|-ç) ÛC ^ ' '

Mais après lextinctioa de la tête B, la somme des espérances de toutes les années suivantes peut être plus correctement exprimée , comme dans le second cas du problème XL , par la formule

Donc si l'on ajoute cette valeur à la somme des n premiers termes des diverses séries que nous venons de trouver, on verra que la valeur totale actuelle de la somme proposée , quand B est la plus vieille des trois têtes, est égale k s{J-\-'x).

501. Iir CAS. Soit G la plus vieille des trois têtes* Dans ce cas la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales dont nous parlons sera trouvée égale à

Mais après l'extinction de la tête C, la chance qu'on a de recevoir la somme proposée à la fin d'une année quelconque ne peut de'pendre que de deux événemens seulement : i°. ou A et B mourront dans l'année, A étant mort le dernier; i\ ou seulement A mourra dans l'année , B étant mort après C dans une des années précédentes. Les probabilités de ces deux événemens pour la (72+ ly''"*^ année sont