PROBLEME XLIII

305. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A , pourvu que cette tête soit la premiere ou la seconde qui s'éteigne de trois têtes données A , B, C, et pourvu que C , dans le dernier cas, meure avant B.

SOLUTION

Le paiement de la somme à la fin de la première année dépendra de l'un des quatre événemens diflerens : l^ ou toutes les têtes mourront dans l'année, T. I. i6

A étant mort le premier, ou C étant mort le premier et A le second; 2°. ou A et B mourront dans Tannée, A étant mort le premier et C étant encore vivant à la fin de Tannée; S**, ou A et C mourront dans Tannée , et B vivra encore à la fin de Tannée; 4**- ou seulement A mourra dans Tannée , et B et C vivront encore à la fin de Tannée. Les probabilités respectives de ces divers événemens sont

labc ' labc ^

abc abc '

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i + p)~* donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année. iMais dans la seconde année et les suivantes, la somme désignée peut être reçue si Tun de six événemens difFérens a lieu : ce sont les suivans , en outre des quatre déjà cités. 5**. Ou A et B mourront dans Tannée , A mourant le premier, et C étant mort dans une des années précédentes ; &. ou seulement A mourra dans Tannée, B vivant encore à la fin de Tannée , et C étant mort dans une des années précédentes. Les probabilités respectives de ces six événemens sont, pour la seconde année,

{a^a")^(J,'^b").{c'^c") {d^a").{b'-^b")c" labc ' labc

abc ' abc * lab

ab

( 245 ) expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par 5(1+ p)~*> donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. Et ainsi de suite pour toutes les années suivantes jusqu'aux dernières limites de la vie humaine : la somme de toutes ces valeurs sera la valeur totale actuelle de la somme proposée , et sera trouvée égale h s x, A^ , ou à la valeur actuelle de la somme donnée payable au décès de A , pourvu que cette tête soit la première qui s'éteigne des deux têtes A, B ; comme nous l'avons trouvé par le problème XXVII. La vérité de cette conséquence est évidente, car un seul événement s'opposerait au paiement de la somme proposée, et ce serait que B mourût avant A (i).