Maintenant, quand il ne s'agit que d'une seule tête

tP" n' n" n'" "~l

A,cettesériedevient- --—-+-—__+—-— -f-etc. : quand il s'agit de deux têtes AB^ elle devient

désignons par A y B ^ C ,, , , , (en caractères pen-?

chés) la valeur d'une annuité sur une tête isolée quelconque A, B, C, .... ; par AS, JC, BC, . . . , la valeur d'une annuité sur un groupe quelconque

de deux têtes AB, AC, BC, et par ABC la

valeur d'une annuité sur un groupe quelconque de trois têtes ABC, etc.; alors, dans le cas d'une seule tête , on aura

etc. etc. etc. etc.

Dans le cas d'un groupe de deux têtes,

Tb L7+1 + (TTlr + (T+lr + ^**'- J - ^^ '

etc. etc.

Et dans le cas d'un groupe de trois têtes,

etc. etc. etc.

Corollaire 2.

32. Il n'existe aucun mojen de simplifier ces termes, ou d'abréger l'expression générale donnée

plus haut pour la valeur d'une annuité sur une ou plusieurs têtes ; tous k s termes en doivent être traduits en chiffres et calcidés les uns après les autres ; cependant quand on a à trouver la valeur de plusieurs annuités sur une ou plusieurs têtes de divers âges consécutifs , on peut abréger considérablement l'opération en descendant de la valeur d'une annuité quelconque sur une ou plusieurs têtes, à la valeur d'une annuité analogue sur des têtes plus jeunes chacune d'un an. En effet, désignons par ABC la valeur d'une annuité sur uu groupe quelconque de têtes ABC; et par A^B^C^ la valeur d'une annuité sur un groupe d'un même nombre de têtes, plus jeunes chacune d'un au que les têtes A, B, C. Soient a^^h^yC^y les nombres de vivans à leurs âges, d'après une table quelconque d'observations; alors par la même raison que

nous aurons

I r abc , dh'c , à'b"c" , ^ ~| j r* j^

d'où multipliant la première équation par abc , et la seconde par (i + f)a^b^c^ ^ nous aurons

abc ^ a o c . , ve>^-t /

(TTi + ÔT+Ty + -^tc. = ABC X abc ,

abc .abc , . >ti^ / . \

a^b^c^ — abc ; d'où A^B^C{ I + f)af)f^ -— abc = ABC x abc.

( 25 ) Conséqucmment ,

d'où la règle suivante pour trouver la valeur d'une annuité sur une seule tête , règle dont il sera facile de faire l'application à une annuité sur un groupe quelconque de têtes. Commencez par la tête la plus âgée marquée dans la table d'observations; ajoutez l'unité à la valeur d'une annuité sur cette tête ( ordinairement o), et multipliez la somme par l'espérance qu'une tête plus jeune d'un an a de recevoir 1 franc après un an ; le produit sera la valeur d'une annuité sur la tète plus jeune d'une année. Si l'on substitue cette valeur à celle de l'annuité sur la plus vieille tête, et qu'on répète l'opération , on aura la valeur d'une annuité sur la tête plus jeune encore d'une année, et ainsi de suite jusqu'à la tête de l'âge désigné. Il est vrai que cette manière de procéder est souvent plus longue et plus laborieuse que celle qui consiste à calculer la valeur numérique de tous les termes de la série donnée au corollaire précédent ; néanmoins cette formule a cet avantage, que les différens degrés de l'opération donnent les valeurs des annuités pour tous les âges intermédiaires compris entre celui de la tête donnée et le plus avancé qui soit marqué dans la table d'observations , et Ton trouve ainsi presque aussi facilement la valeur des annuités pour tous ces âges intermédiaires que pour la tète proposée seulement.

35. Exemple i . Soit proposé de trouver la valeur d'une annuité sur une tête de 90 ans ; en se servant de la table générale de Suède et de l'intérêt à 5 p. 100.

La valeur d'une annuité sur une tête de g(i ans est égale à o.

Sur une tête de 95 ans, == (i+o, ) X - X 0,9524 = 0,4762

90 = (1+1,1129) X ^ X 0,9524 = 1,4129 On voit donc que la valeur demandée est 1,4129.

54. Exemple 2. Quelle est la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes, savoir, un homme de 90 ans et une femme de 84 ans, en se servant de l'intérêt à 4 p- 100, et de la table de Suède, qui indique une mortalité distincte pour chaque sexe.

En commençant par la tête la plus vieille qui soit dans les tables, et l'adjoignant à une plus jeune de 6 ans, on trouvera que la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes, dont un homme de 95 ans une femme de 89, est o.

( 27 ) Sur deux têtes de

94et88ans= (14-0) x -^ -^ X 0,9615 — o,i845,

93et87 =(,-|-o,i845)X^-^^2x 0,9615 = 0,3496,

92et86 =z (i-f 0,3496) X ^X 0,9615 = 0,5827,

9iet85 :r=(,+o,5827)x-^4^^^X 0,9616=0,

9oet84 — ('+**'75<^7)X3g^--^X 0,9616 ==0,8629.

On voit donc que la valeur de Fannuité demandée est 0,8629.

55. Mais la meilleure manière dont on peut calculer la valeur des annuités, c'est d'employer les logarithmes ; elle est suffisamment indiquée par l'inspection de la formule du n° 52, et les principes que nous venons d'établir. Car puisque AJB^C^:=. [i-\-ABC)

X — T— (1 + p}~S il est évident que log J^B^C^ =:

log a + log ^ + lo,^ ^ + log ( I + p)""* + log ( I -}- ^^ C) — (loga^ + log Z>^ + logc^), et par là les calculs qui semblent si compliqués quand il s'agit d'un groupe de deux ou plusieurs têtes , se réduisent aux simples opérations d'addition et de soustraction.

56. En calculant de cette manière les valeurs des annuités, on fera bien d'observer les règles suivantes : Commencez par la plus âgée des têtes données C, et écrivez horizontalement sur un tableau divisé ea

( 28 ) colonnes , comme celui que je joins ci-après pour modèle , les logarithmes des nombres de vivans après n, (n — i)> (^i — 2).... années, à partir de la naissance, n désignant le nombre d'années compris entre la naissance et le dernier âge marqué sur la table d'observations. Maintenant , passant à la tête B , la plus âgée après C , écrivez de même sous les premiers les logarithmes des nombres de vivans après {n — A), {n — A — i), {n — A — 2), etc. années, à partir de la naissance , A désignant la différence d'âge entre B et C. Opérez encore de même pour la plus vieille tête après B, et ainsi de suite, suivant le nombre de têtes sur lesquelles est constituée l'annuité. Ajoutez ensemble les quantités qui se trouvent en ligne verticale, et écrivez sous chaque somme le logarithme de (j + /)~'. Le reste de l'opération devient extrêmement facile, comme ou le voit par le tableau ci-joint , où j'ai indiqué la méthode à suivre pour trouver les valeurs des annuités sur un groupe quelconque de deux têtes dont la différence d'âge serait de 10 ans, en se servant de l'intérêt à 4 P- 100 et de la table de Northampton.

37. En cherchant ces logarithmes dans les tables, on ne doit tenir compte que de la partie décimale ; la même observation s'applique à l'addition et à la soustraction des logarithmes dans l'opération. L'omission de la caractéristique ne peut entraîner aucune erreur, puisque dans le dernier logarithme qui résulte de l'opération, et qui est celui de l'annuité cherchée, quand la caractéristique est positive , elle n txcède

jamais 1 unite, et quand elle est negative il est également impossible de s'y méprendre.

Dans chaque colonne, les nombres compris dans les lignes D, E, F, G, H, l, K, L, indiquent fies divers degrés de Topëration; la ligne L contient les logarithmes des valeurs demandées , et les nombres correspondans à ces logarithmes, ou ces valeurs mêmes se trouveront dans la ligne S. On verra dans la suite pour quelle raison j'ai séparé cette ligne des autres, quand je donnerai l'explication des lignes suivantes M, N, 0, P, Q, R, que pour le moment on ne doit aucunement considérer.

Oi r^CD

Vf O —

Vf CO ■—