PROBLÈME XLVII

Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès à.% h. et de Yi, pourvu que ces deux têtes soient les dernières qui s'éteignent de trois têtes données A,B,C.

SOLUTION

Il est évident que la somme proposée ne peut être reçue à la fin de la première année que dans le cas

( ^^7 ) où toutes les têtes s éteindraient dans l'année, C étant mort le premier. La probabilité de cet événement est

^ / . f expression qui multipliée par

s (i+f)~* donnera l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme proposée peut être reçue si Tun de quatre différens événemens a lieu : i**. ou toutes les têtes mourront dans Tannée, C étant mort le premier; 2°. ou A et B mourront dans l'année, C étant mort dans une des années précédentes ; 5°. ou seulement A mourra dans l'année , et B e^ C seront morts dans une des années précédentes , B étant mort le dernier; 4°. ou seulement B mourra dans Tannée, et A e^C seront morts dans une des années précédentes , A étant mort le dernier. Les probabilités de ces divers événemens , pour la seconde année , sont respectivement

3abc ' ab

expressions qui , étant ajoutées ensemble et multipliées par^(i + /)"% donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. On trouverait de la même manière les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes; et si Ton réduit ces diverses espérances à leur plus simple ex- T. I. .7

( 258 ) pression, et qu'où les dispose les unes sous les autres, elles formeront dix-neuf séries collatérales , dont la somme, si on les continue jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, sera égale à s multiplié par

2(^rTç)'^2(i4 ç)"^ 2(1+ ç)' a 2(1 -fç)*^ i+^C i+J'C a \-^BC i-^B'C b'

"^ 3(i4-c) "^ ^(14- ç) '« "^ ' Sû"^ 6(i-fç) 'b

expression qui, inde'pendamment du multiplicateur commun s, peut se réduire à

2— {(3^4-3g4-2^gC) — 3AB—3BC ,„

et que je représenterai par 3.

317. P' CAS. Soit A la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera égale à

2(i4-ç) b^ * ^ 2(i4-ç) * bc

2(l+g) éc ^ ^'^'' ■

(259) Mais après le décès de A , la somme des espérances de toutes les années suivantes sera , comme dans le premier cas du problème XL , exprimée plus correctement par

expression qui , étant ajoutée aux n premiers termes que nous venons de trouver, rendra la valeur totale actuelle demandée, quand A est la plus vieille des trois têtes, égale a s (2 -f- ^).

518. IP CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera égale à

Mais après le décès de B, la somme des espérances de toutes les années suivantes sera, comme dans le second cas du problème XL , plus correctement exprimée par

expression qui, étant ajoutée aux n premiers termes que nous venons de trouver, rendra la valeur demandée, quand B est la plus vieille tête, égale à

( 26o ) 519. IIP CAS. Soit C la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera égale à

Mais après le décès de C, la somme des espérances de toutes les années suivantes sera, comme dans le troisième cas du problème XL, plus correctement exprimée par s multiplié par

expression qui , étant ajoutée aux n premiers termes déjà trouvés, rendra la valeur demandée, quand C est la plus vieille tête, égale à ^ (3 +^+ 2;).

Corollaire.

520. Quand toutes les têtes sont égales ou du même âge que A , les trois dernières quantités de la formule

( ^6« ) representee par 3 se détruisent l'une l'autre , et l'expression générale devient, dans ce cas, égale à

I — g (3.^ -- 'à A A 4- AAA) ^ ^ 3(7+^) '

c'est-à-dire égale au tiers de la valeur actuelle de la somme proposée , payable au dernier décès des trois têtes.

PROBLÈME XLVIIL

521. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A e^ t/e B , pourvu que ces deux têtes soient la première et la dernière qui s'éteignent de trois têtes données A , B , C.

SOLUTION

La somme proposée ne peut être reçue à la fin de la première année que si les trois têtes meurent dans cette année, C étant mort le second. La probabilité de cet événement est

(g — a'),(b --b').{c — c')\ Zabc ^

expression qui, étant multipliée par i" (i + f)"';

donnera l'espérance qa'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes , la somme designee peut être reçue si l'un de cinq différensëvénemensa lieu : 1°. ou toutes les têtes mourront dans l'année, C étant mort le second ; 2**. ou A et C mourront dans l'année, A étant mort le dernier et B étant mort dans une des années précédentes; 3**. ou B et C mourront dans Tannée , B étant mort le dernier et A. étant mort dans une des années précédentes; 4°* ^^ seulement A mourra dans l'année , etB et C seront morts dans une des années précédentes ^ B étant mort le premier; 5°. ou seulement B mourra dans l'année, et A etC seront morts dans une des années précédentes , A étant mort le premier. Les probabilités respectives de ces divers événemens, pour la seconde année , sont

2tabc ' lac \ b J'

ibc

{-7)'-:^{"iyi'-d

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i+p)"""? donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière nous trouverons les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes; et si Ton réduit à leur plus simple expression ces diverses

( .63 ) espérances annuelles, et qu'on les dispose les unes sous les autres , elles formeront dix- neuf séries collatérales , dont la somme , si on les continue jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, sera égale à s multiplié par

^AC j^ <^. .BC j. ^ b^ .i-^^ABC

+ — -^A - + —-^>^'Tb + -H^^

i-irA'BC a^j^^ a^ \-\-AB'C b'

b , i-^ABC ic

Mais cette expression^ indépendamment du multiplicateur commun s , peut se réduire à

2 — g (3^ -4- 3i^ + lABC) — 6^^ ^C 4- ^6'

et je la représenterai par Ô.

322. I" CAS. Soit A la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , les n premiers termes des diverses séries

( 264 ) collatérales doat nous parlons seront égaux à

Mais après le décès de A , la chance qu'on a de recevoir la somme à la find une des années suivantes dépendra de l'un de deux difFérens événemens : i". ou B et C mourroni tous deux dans l'année ,B étant mort le dernier ; 2". ou seulement B mourra dans l'année, C étant mort après A dans une des années précédentes. Les probabilités de ces deux événemens, pour la (ai+i)*" année, sont respectivement

expressions qui , étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i+/')'"^""^*^, donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la {ti + i)' année. De la même manière, les probabilités respectives de ces deux événemens, pour la (n + 2)' année, sont

2bc

et '—r^O^—f)

expressions qui , étant ajoutées ensemble et multipliées par ^ (i + p)""^""*"*^, donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la (n -j- 2)' année; et ainsi de suite pour toutes les années suivantes , jusqu'aux dernières limites de. la vie humaine : la somme de toutes ces espérances annuelles sera trou-

( 265 ) vëe égale à s multiplie par

+ i,.c..*(,+,)-+^^.g(,+rt-.

et cette formule étant ajoutée aux n premiers termes des diverses séries collatérales précitées, rendra la valeur totale actuelle de la somme proposée, quand A est la plus vieille tête , égale h s (^ — v).

525. Il'' CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , les n premiers termes des diverses séries collatérales précitées seront égaux à

Mais après le décès de B, la chance qu'on a de recevoir la somme à la fin d'une des années suivantes dépendra de l'un de deux événemens difFérens : ou A et C mourront dans l'année , A étant mort le dernier ; 2". ou seulement A mourra dans l'année, C étant mort après B dans une des années précédentes. Les probabilités de ces deux événemens, pour la (zz-j-i)" année, sont respectivement

(« — ce') . (y •— y)

et — u / y\

et -(,p g;

( 266 ) expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i+p)~"^""^*\ donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la (w+i)^ année. De la même manière nous pourrons trouver les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la (n + 2y année et de toutes les années suivantes, jusqu'aux dernières limites de la vie humaine; et la somme de toutes ces espérances annuelles sera trouvée égale a s multiplié par

* 2ac^ ' "^^ ' 2(i-f-ç) ac ^ ~^

-^;^"- ;iO+p)-";

^ac

formule qui, étant ajoutée aux 7z premiers termes des diverses séries collatérales précitées, rendra la valeur totale actuelle de la somme proposée , quand B est la plus vieille des trois têtes , égale h s {& — jc),

524. Iir CAS. Soit C la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera égale à

2(i+ç) «^ ^f^-' 2(,+ç)- 4 v' -rp;

(■ 267 ) Mais après le décès de C, ia chance qu'on a de recevoir la somme a ia fin d'une des années suivantes dépendra de l'un de deux éve'nemens diffërens : i**. ou seulement, A mourra dans l'année, C éiant mort après B dans une des années précédentes ( la probabilité de cette dernière condition sera maintenant représentée par <p); 2". ou seulement 13 mourra dans l'année, C étant mort après A dans une des années précédentes (la probabilité de cette dernière condition sera maintenant représentée par^zêr). Par conséquent la somme des espérances relatives à ces événemens, continuées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , sera égale à

expressions qui , étant ajoutées à la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées, rendront la valeur totale actuelle de la somme proposée , quand C est la plus vieille tête , égale

(i) Il ne sera pas inutile de remarquer ici que la somme des valeurs actuelles obtenues au moyen des probl. XL VI, XL VII

etXLVIII, est égale à ^ X ^V~~^ — ^ ' — f c est-à-dive

égale à la valeur actuelle de la somme proposée , payable au dernier décès des deux têtes A , B.

Corollaire.

525. Quand les trois têtes sont égales ou du même âge que A, les trois dernières quantités de la formule représentée par ^ se détruisent l'une l'autre , et l'expression générale devient alors égale à

I — g (3^ — "^AA 4- AAA)

c'est-à-dire égale au tiers de la valeur actuelle de la somme proposée payable au dernier décès des trois têtes.