PROBLEME XLIX

526. Déterminer la valeur actuelle d'un capital payable au décès de A et de B , pourvu que B meure avant une autre tête C.

SOLUTION

Le paiement de la somme à la fin de la première année dépendra de l'un de ces deux événemens ; 1°. ou toutes les têtes mourront dans l'année, B étant mort avant C; 2°. ou seulement A et B mourront dans Tannée, C vivant encore à la fin de l'année. Les

probabilités respectives de ces deux ëvënemens sont

{a-a') {h-^h') {c^d) ^^ {a^a!) {h-h')c\ Q.abc abc '

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par s (i+p)~' , donneront lespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes, la somme proposée peut être reçue si Tun de sept différens événemens a lieu : i''. ou toutes les têtes mourront dans l'année, B étant mort avant C; 2». ou A et B mourront dans l'année, et C vivra encore à la fin de l'année; 3**. ou A et C mourront dans l'année, B étant mort dans une des années précédentes; 4°- ou B et C mourront dans l'année, B étant mort le premier et A étant mort dans une des années précédentes; 5°. ou seulement A mourra dans l'année, B étant mort dans une des années précédentes, et C vivant encore à la fin de l'année; 6", ou seulement B mourra dans l'année, C vivant encore à la fin de Tannée , et A étant mort dans une des années précédentes; 7°. ou seulement A mourra dans Tannée, et B et C seront morts dans une des années précédentes ^ B étant mort le premier. Les probabilités respectives de ces événemens, pour la seconde année, sont

labc ^ abc

'^r^ V h)' ibc V a)->

^c V bj' be V a)

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par 6'(i + p)"*; donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la seconde année. De la même manière on trouvera les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes, jusqu'à l'extinction de la plus vieille tête, et si l'on réduit ces espérances annuelles à leur plus simple expression , et qu'on les dispose les unes sous les autres, elles formeront quatorze séries collatérales, dont les n premiers termes varieront selon l'âge comparatif des têtes en question.

527. I*"^ CAS. Soit A la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, les n premiers termes des diverses séries collatérales précitées seront égaux à la somme des termes continués jusqu'aux dernières limites de la vie humaine , parce que la tête A se trouve impliquée dans chaque série. Donc leur valeur sera égale à s multiplié par

i — ^A I 4- AB i^A'B a i-f-^C i 4- A'C a'

i—^BC i-^B'C ^' \ -nç^. i—e,ABC

• ' 2fcf ' ' 2C

(27-) Mais cette expression peut se réduire à