PROBLÊME L

351. Determiner la valeur actuelle d'un capital payable au de'cès de A et de B^ pourvu qu'une autre tête C meure avant B.

SOLUTION

Le paiement du capital désigné à la fin de la première année ne dépendra que d'un seul événement ; il faudra que toutes les têtes s'éteignent dans l'année, C étant mort avant B. La probabilité de cet événement est

(a ^ a') {b — b') (c — c) ^ Q.abc '

expression qui, multipliée par ^ (i + f)~% donnera Tespérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de lu première année.

Mais dans la seconde année et les suivantes , la somme proposée peut être reçue si l'un de cinq différens événemens a lieu : i*^. ou toutes les têtes mourront dans l'année , G étant mort avant B ; 2". ou A et B mourront dans Tannée, C étant mort dans une des années précédentes; S"", ou B et C mourront dans l'année, C mourant le premier, et A étant mort dans TL 18

( '-74 ) une des années prëcéclciiles; 4"- ou seulement B mourra tians l'anne'e, et A et C seront morts dans une des années précédentes; 5% ou seulement A mourra dans l'année , et B et C seront morts dans une des années précédentes y B étant mort le dernier. Les probabilités respectives de ces divers événemens, pour la seconde année, sont

inbc ' ab

expressions qui, étant ajoutées ensemble et multipliées par ^(i + p)""*:» donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la iin de la seconde année. De la même manière nous trouverons les espérances qu'on a de recevoir la somme à la fin de la troisième année et de toutes les années suivantes, jusqu'à l'extinction de la plus vieille tète; et si l'on réduit ces espérances annuelles à leur plus simple expression, et qu'on les dispose les unes sous les autres, elles formeront dix- sept séries collatérales, dont les n premiers termes varieront selon lage comparatif des letes en question.

332. I" CAS. Soit A la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , les diverses séries collatérales dont nous parlons doivent être continijées jusqu'aux dernières limites de la vie humaine puisque la tête A se

( 275 ) trouve impliquée dans chacune d'elles: donc leur somme sera égale à s multiplié par

2(I+Ç) "^ 2(1 -fç) * « 2(l-f-^ + 2(1 -f- €)* ^

' ib ' 2(1 -|-ç) ' * 10 ' 2C

Mais cette expression peut se réduire à

i-e{A'^iB-<iAB-BC-^JBC)-^rAB^AC {A'B-^A'C)d

formule que je représenterai par ill. Conséquemment quand A est la plus vieille tête , la valeur demandée est représentée par s x iM.

555. IP CAS. Soit B la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas , la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées sera égale à

2(i-fç) û ^ • ^'' ^^ 2(i-fç) ac^^^^^ i^A'°C° a y

2(1 -f|) * ac

Mais après le décès de B, la somme des espérances de toutes les années suivantes sera plus correcte-

( 276 ) ment exprimée , comme dans h second cas du problème XL, par

expression qui, étant ajoutée à la somme des n premiers termes des diverses séries collatérales précitées, rendra la valeur totale actuelle de la somme donnée, quand B est la plus vieille tête , égale à s {MX + x),

534. IIP CAS. Soit C la plus vieille des trois têtes. Dans ce cas, les n premiers termes des diverses séries collatérales précitées seront égaux à

Mais après le décès de C , la chance qu'on a de recevoir la somme proposée à la fin d'une des années suivantes dépendra de l'un de trois événemens différens : i°. ou A et B mourront dans l'année* 2°. ou seulement B mourra dans Tannée , A étant mort dans une des années précédentes; 5°. ou seulement A mourra dans l'année, B étant mort après C dans une des années précédentes. Les probabilités respectives de ces événemens, pour la (n-\~ })' année , sont

(«-«') {fi—^) (/g—rt / a\ ^ «-«' /" ^ ^

expressions qui, elant ajoutées ensemble et multipliées par »y (i + p)"^"'*''^, donneront l'espérance qu'on a de recevoir la somme à la fin de la (n + i/ année. On trouvera de la même manière les espérances de la (n + 2)' année et de toutes les années suivantes , jusqu'aux dernières limites de la vie humaine, et leur somme sera égale à s multiplié par

formule qui, ajoutée aux n premiers termes des diverses séries collatérales trouvées plus haut , rendra la valeur totale actuelle de la somme proposée, quand C est la plus vieille tête, égale à sÇ£i\ + r).

Corollaire,

555. Quand toutes les têtes sont égales ou du même âge que A , les trois dernières quantités de la formule représentée par ill se détruisent l'une l'autre et l'expression générale devient alors égale à

c'est-a-dire égale à la moi lié de la valeur actuelle de la somme proposée, payable au dernier décès des trois têtes.

Scolie.

556. Puisque la somme des valeurs actuelles de la somme proposée trouvées par les deux derniers problèmes est égale à

ou à la valeur actuelle de la somme proposée , payable au dernier décès des deux têtes A, B, il s'ensuit que la valeur actuelle d'une d'elles étant trouvée , on obtiendra aisément par une simple soustraction la valeur actuelle de l'autre.

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