D'après cela, on verra dairement que Icxpression

qui, dans le problème I, corollaire i, désigne la valeur d'une annuité sur la télé A, deviendra

or cette série peut être divisée en deux autres, dont la première est

et la seconde qui doit en être retranchée est If-— -I- — — 4- ~^—^ __^L__."1.

Mais la première, que je représenterai par /, osl égale à la valeur actuelle d'une annuité certaine pendant l'espace a, et la dernière est égale à

par conséquent la valeur totale actuelle de Fannuité est , dans cette hypothèse , égale à

( 285 ) 540. De la même manière^ l'expression

qui représente la valeur dune annuité sur un groupe de deux têtes A B, deviendra, dans cette hypothèse,

1 r(^-ï).(6-i) (a-2).(^-2) (^-3).(Z>-3) {a-.b),ib-b)'^

série qui ne doit comprendre que b termes, B étant Ja plus vieille des deux têtes. Mais si l'on développe , eu effectuant la multiplication, les numérateurs des fractions composant cette série, l'expression entière peut se diviser en trois autres séries distinctes, qui sont

ab L(i+ç) ^ (14- ç)^ "*" (i-f c)^ ^- • • • (i-f ç)U

La première de ces séries est égale à la valeur actuelle d'une annuité certnine pendant l'espace /:>, et je la représenterai par j^; la seconde est, d'après ce fjui r. été dit plus haut , égale à

' ab

( 284) et la troisième est égale à

Conséquemment la valeur totale actuelle de lannuité sur un groupe de deux têtes est égale à

541. En raisonnant de la même manière, on trouvera que l'expression

abc L(i4-ç)"^(i+€r"^ (iH-ç)^'*^^^''U'

qui désigne la valeur d'une annuité sur le groupe de trois têtes A B C, deviendra, dans cette hypothèse,, égale à

I r(fl-l).(^-l).(c-l) (a~2).(^>^2).(c-90

abcl (i-fç) ^ (c+çr

(^—3). (^^3) (0-3) (a^c).(^-.c).(c-cn

■^ (i+ç)^ "*■•••• (iH-cr J'

série qui doit être continuée jusqu'à c termes seulement, C étant maintenant la plus vieille tête. Mais la série entière , si Ton développe ses termes , peut se convertir en quatre autres, qui sont

ah 4- ac-^r be r~ i ^^ 2 ^^ 3 ^^ c ""]

a^b-^cr I . 4 , 9 e £l"l

"*" abc L(i+çr (i+f)^"^(i+ç)^"*~'*"(i-|-ç)d

L r~î I ? \—^ \- -fi-i

abc L(i+çr (»+cr^(i-f-c)^^""(i-f-ê)J'

Or la première de ces séries est égale à la valeur actuelle d'une annuité certaine pendant l'espace c, valeur que je représenterai parj*, et les autres peuvent être ajoutées de la même manière que dans le cas précédent; donc la valeur totale actuelle d'une annuité sur les trois têtes réunies est égale à

542. Maïs depuis la publication des tables exactes de la valeur des annuités, déduites d'observations réelles, ces formules sont devenues de rare ou de nul usage, et ion n'y a presque jamais recours, à moins qu'il ne s'agisse de trouver une valeur approximative d'une annuité sur des têtes dont les âges ne se trouvent pas indiqués dans ces tables. Néanmoins l'hypothèse elle-même est encore d'un grand usage dans la théorie des annuités, et facilite beaucoup plusieurs calculs qui s'y rattachent, particulièrement lorsque la chance qui fait l'objet du problème est temporaire seulement, comme on le verra évidemment par le problème suivant.