III I
qui peut se diviser en deux parties.
( 287 ) La dernière de ces sëiles est, d'après le problème I, corollaire 5, égale à A^, ou égale à la valeur d'une annuité sur sur la tête A, différée de n années j et la première peut se diviser en deux autres , qui sont
«L(i-fç)"^(i-+ç)^^(i"fçy ' "' (1-fçrJ'
dont on trouvera aisément, d'après ce qui précède, que la somme est égale à
Conséquemment la valeur totale de l'annuité sera
Mais puisnue cT est toujours égal à (i), ci
pui9,que A^ est égal à
on peut rendre cette expression plus commode pour
(i) On peut généralement prendre cette formule pour la vraie valeur sans erreur sensible, même quand les de'croissemens ne sont pas exactement réguliers.
la pratique en y faisant ces substitution? ; cette valeur deviendra donc
Or l'on voit , d'après les tables d'observations de Northampton, que les de'croissemens de la vie sont presque uniformes durant tout l'intervalle compris entre 20 et 80 ans; si donc on a une fois calculé la valeur d'une annuité sur une tête âgée de 80 ans, la valeur d'une annuité sur une tête de tout âge intermédiaire peut être aisément déduite de la formule que nous venons de donner, et sera à très peu de chose près la véritable valeur demandée.
Exemple, Supposons que le taux de l'intérêt soit de 5 p. 100; dans ce cas la valeur d'une annuité sur une tête âgée de 80 ans sera 5,5 1 5 : et si nous voulons en déduire la valeur d'une annuité sur une tête de 20 ans, la formule deviendra
20 — r-V I a tT" g^ X i,o5 X 18,9295
Ol32 i DoXo,o5 ' '^ ^
ce qui approche bien de i4>007 ou de la véritable valeur donnée par les tables. Et si l'on considère que la valeur ici trouvée ne pourrait être déduite du
( 289 ) corollaire de la page 22 , sans qu'on calculât soixante termes de la série donnée à cette page , on reconnaîtra nécessairement l'utilité de cette formule.
Corollaire.
544. Si l'on demande la valeur d'une annuité temporaire pour un espace déterminé n , et que cet «space se trouve entièrement compris dans l'intervalle des décroissemens égaux indiqués par une table quelconque d'observations , la série
désignera , dans ce cas , la valeur exacte; et c'est une formule d'une très grande utilité quand on ne possède pas de tables d'annuités déduites d'observations réelles; si les décroissemens sont égaux à peu de chose près, la formule ne différera pas sensiblement de la véritable expression.
Exemple, Supposons qu'on veuille trouver la valeur d'une annuité temporaire de 20 ans sur une tête âgée de 20 ans, en supposant l'intérêt à 5 p. 100 et la mortalité conforme aux tables de Northampton. Dans ce cas la formule deviendra
'"'^^^^~5i3lxJx!f,o5^^^'"-^ "" ^'''^^"' - 20 X 0,3769)= ,o,84.i ; T. I ,9
( ^90 ) valeur exacte d'une annuité temporaire de 20 ans sur une tête âgée de 20 ans; car Ton verra à la table XXV que de i age de 20 ans à celui de [\o , les de'croissemens de la vie sont égaux. La valeur déduite de la règle du n° 47, est 10,847.
545. Ce problème et son corollaire serviront à montrer quel utile parti on peut souvent tirer de l'hypothèse de M. de Moivre, et de quelle manière on doit s'en servir toutes les fois que l'occasion s'en présente. Mais puisque les décroissemens de la vie sont surtout irréguliers dans les premiers et les derniers âges de l'existence, et ne sont uniformes ou à peu près tels qu'aux âges intermédiaires, ou voit que cette hypothèse ne peut être employée sans danger que pour déduire la valeur des annuités ou des assurances temporaires. A cet égard elle est d'une utilité extrême, et épargnera souvent les calculs les plus laborieux. C'est de cette manière que M. Morgan a bien voulu s'en servir, encore l'a-t-il fait furtivement, et, je ne sais pour quelle raison, après avoir préalablement nié qu'il dut en faire aucun usage.
J'observerai ici que les règles dont on se sert pour déterminer la valeur des annuités qui dépendent de la vie entière d'un certain nombre de têtes tirées d'un autre nombre quelconque de têtes, ou des annuités en reversion ou dépendant d'une survivance, et en général pour résoudre les problèmes contenus dans les chapitres II , III et IV de cet ouvrage, sont absolument les mêmes avec l'hypothèse de M. de Moivre ou les observations réelles. Car dans chacun de ces
( 29Ï ) cas, la solution de ces questions se déduit de tables indiquant les valeurs desannuite's sur une tête ou un groupe de plusieurs têtes, et par conséquent Futilité ou l'inutilité de l'hypothèse de M. de Moivre quant à la valeur des annuités y dépendra toujours des propositions fondamentales que nous avons traitées plus haut.
Mais pour déduire la valeur des assurances ou des capitaux payables au décès , ses règles sont certainement beaucoup plus simples que celles déduites d'observations réelles; et il eût été heureux que cette hypothèse eût pu être admise pour toute la durée de la vie. Comme il n'en est pas ainsi, nous devons nous contenter des facilités qu'elle donne souvent pour déterminer, en beaucoup d'occasions, une valeur très approchée des assurances temporaires.
De la manière de trouver par approximation la valeur des annuités viagères.
546. Je ne puis clore ce chapitre sans faire observer l'utilité et la convenance des formules déduites de l'hypothèse de M. de Moivre, pour nous amener à trouver, d'après les valeurs des annuités sur une ou plusieurs têtes à un taux quelconque d'intérêt, les valeurs des annuités sur les mêmes têtes, à un autre taux d'intérêt. Pour développer cette méthode, j'observerai que, d'après l'hypothèse de M. de Moivre, la vie moyenne d'une tête quelconque est égale à la moitié de son complément de vie. Consé-
( ^9^ ) quemment le complément de vie d'une lête est égal à deux fois sa vie moyenne. Si donc nous substituons deux fois la vie moyenne d'une tête, déduite d'observations réelles, aux quantités a, b ou. c dans les formules générales des n°' 559 , 540 et 541 , les valeurs provenant de ces substitutions approcheront généralement beaucoup plus des valeurs exactes que celles obtenues en faisante, /;ou c égal au complément de vie de la lête proposée, d'après l'hypothèse de M. de Moivre. Ou bien (ce qui est tout ce qu'on demande en cette occasion) la différence entre les valeurs d'une annuité sur une ou plusieurs têtes, déduites de cette manière de la vie moyenne de ces têtes, h deux taux quelconques d'intérêt, sera presque la même que la différence entre les valeurs exactes d'une annuité semblable, aux mêmes taux d'intérêt, déduites d'observations réelles. Par conséquent, quand la valeur d'une annuité à un taux quelconque d'intérêt est donnée, on obtiendra facilement une valeur très approchée d'une semblable annuité à un autre taux, au moyen de la première différence dont nous parlons ; comme on le verra évidemment par la règle générale qui suit.
Appelons la valeur exacte ^ calculée d'après un taux quelconque d'intérêt, la première valeur.
Appelons la valeur déduite des vies moyennes au même taux d'intérêt, la seconde valeur.
^Appelons la valeur déduite des vies moyennes à un autre taux d'intérêt, la troisième valeur.
Alors la différence qui existe entre la seconde et la TROISIÈME valeurs, retranchée de ou ajoutée à la
PREMIERE valeur, selon que la seconde est plus grande ou moindre que la troisième, sera la valeur approchée de l'annuité à l'autre taux d'intérêt proposé.
Exemple. Quelle est la valeur approchée d'une annuité sur une tête âgée de 20 ans, à l'intérêt de 4 P- ^00, en la déduisant de la valeur exacte à 5 p. 100 et d'après les observations de Northampton?
La première valeur, ou la valeur exacte à 5 p. 100, est, par la table XXVII, égale à 14,007. La seconde valeur, déduite au même taux d'intérêt de la vie moyenne au moyen de la formule du n® 559, est égale à
(i) Quand le double de la vie moyenne forme un nombre entiei' accompagné de décimales, comme il arrive le plus souvent . la valeur d'une annuité payable pendant ce temps peut être facilement obtenue de la manière suivante. Supposons que le nombre d'années soit , comme dans le cas actuel, 66,86. La valeur d'une annuité de 66 ans est, d'après la table LIX, 19,201 , et la valeur d'une annuité de 67 ans, est 19,239. La différence entre ces deux valeurs est o,o38 ; si on multiplie cette différence par la partie décimale 0,86 et qu'on ajoute le produit o,o33 à la moindre des deux valeurs , on aura 19,5.34 pour la valeur de l'annuité de 66, 86 ans.
En comparant la seconde et la troisième valeurs ici obtenues, c'est-à-dire i3,959et 15,984, aux valeurs de U table XXYII , on trouvera qu'elles approclient beaucoup plus
( 294 ) La TROISIÈME valeur, déduite de la même formule à 4 p. loo , est égale à
DODC
sera la valeur approchée que Ton demande, et elle ne diffère que d'une unité du dernier ordre de la valeur exacte donnée à la table XXVII.
547. Les mêmes principes sont applicables au cas d'un groupe de deux têtes, et Ton trouvera que dans les deux cas les valeurs déduites sont souvent sensiblement les mêmes que les valeurs exactes; que généralement la différence n'excède pas la vingtième ou la trentième partie de la rente d'une année; que cette différence est moindre dans le cas d'un groupe de plusieurs têtes que dans celui d'une seule tête; et qu'elle est la même, quel que soit le taux de l'intérêt (i).
des valeurs exactes que celles obtenues au moyen de Thypotlièse de M. de Moivre , et données a la table XLIX. On voit donc que la formule de M. de Moivre, donnée à la page 282 peut quelquefois être utilement employée pour trouver promptement et par une seule opération , une valeur approchée d'une annuité, déduite d'observations réelles.
(i) Price a démontré par un grand nombre d'exemples la vérité de ces assertions. Le même auteur remarque que ces
De la valeur des annuités viagères croissantes.
548. L'hypothèse de M. de Moivre nous fournit aussi une formule utile et commode pour determiner la valeur des annuités viagères croissantes ; c'est-àdire des annuités de i fr. , 2 fr. , 5 fr, , etc. (ou tous multiples de ces sommes), payables à la fin de i, 2,5, ... années respectivement^ si la tête A existe à ces diverses époques; car ia série exprimant cette valeur sera évidemment égale (d'après ce qui a été dit à la page 282) à
expression qui pourra être divisée en deux autres
déductions sont si aisées, surtout dans le cas d'une seule tête, et approchent si près des vraies valeurs , qu'il regarde comme inutile de calculer à plus d'un taux d'intérêt lés valeurs exactes d'après chaque table d'observations. Mais quelque utiles que soient les règles ci-dessus dans la pénurie actuelle de tables exactes, il n'en serait pas moins précieux de posséder de nouvelles tables à divers taux d'intérêt; et j'espère que leis personnes qui pourraient entreprendre par la suite cette tâche laborieuse, ne se laisseront pas influencer par une excuse aussi faible et aussi blâmable. L'utilité réelle et l'objet des tables de tout genre est d'épargner du' temps et du travail , et de prévenir les erreurs.
( 296) séries, savoir
Pour abréger les calculs , supposons
L( H^ "^ (H^ + (hPT? + • • • • (1+^ J = *^^
Alors la somme des deux séries ci-dessus, ou la valeur de l'annuité demandée sera représentée par
Mais d après ce qui a été dit au n* 559 , on verra que la valeur d'une annuité sur une seule tête A est représentée par
et d'après ce qui a été dit au n" 540, que la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes égales AA est représentée par
aa
( 297 ) Donc
A AA=r — '''
-jr+
aa
[- conséquent
