AA

= éir-

a aa'

sera la valeur de l'annuité croissante demandée , d'où nous déduisons la règle suivante.

549. De la valeur d'une annuité sur la tête donnée, retranchez la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes égales et du même âge que la tête donnée , multipliez le reste par le complément de vie, ou deux fois la vie moyenne de la tête donnée , et le produit sera la valeur demandée.

Exemple» Supposons que la tête proposée soit âgée de 40 ans et que l'annuité soit de i fr. la première année, 2 fr. la seconde, 5 fr. la troisième, et ainsi de suite dans l'ordre des nombres naturels. Quelle est la valeur actuelle de cette annuité, en supposant l'intérêt à 4 p. 100 et la mortalité conforme aux tables de Northampton?

Ici nous aurons A =. 1 3, 1 97 , A A = 9,820 et a , ou deux fois la vie moyenne, = 4^? ^^5 P^^ conséquent

46,16 X (15,197 — 9>^2o) = 155,882 sera la valeur demandée.

Si l'annuité était de lo fr. , 20 fr. , 5o fr., etc. la valeur actuelle serait 1 55,882 x 10. Ou si elle était de i5 fr. 5 5o fr., 4^ ^^^-9 6*^., sa valeur actuelle serait 1 55,882 x i5.

Mais quand l'annuité commence par une somme supérieure a 1 fr. et s'accroît seulement de i fr. par année, nous devons ajoutera la valeur trouvée plus haut la valeur d'une annuité sur la tête donnée, mullipliée par le premier paiement diminué d'une unité; et la somme est la valeur demandée. Ainsi si l'annuité, dans le premier cas cité plus haut était de ï5 fr. , 16 fr., 17 fr. , etc., nous devrions multiplier i5,ig7 par 14, et le produit, ou 1 84,758 ajouté à 155,882 donnerait 540,640 pour la valeur demandée.

554. Ces exemples et beaucoup d'autres peuvent servir à montrer d'un coup d'œil la grande utilité de rhjpothèse de M. de Moivre. Les cas d'application les plus fréquens nous convaincront de son importance pratique ; mais son mérite principal consiste en ce qu elle conduit nos recherches dans beaucoup de branches de cette théorie, où l'analyse ordinaire n'eût pu être qu'extrêmement embarrassée et souvent même eût complètement échoué^ elle est donc bien loin de mériter les fausses et méprisantes epithet es de misérable et d'absurde.

VV«(vV*VVVV-VVVVV\VVX'\'VVVVVVVVVVVVVV\'»iVVVvVV^VVVV\VVVVVVVVVvVVVVVVVVVVVllVVVWVWWVVW*Wv'WV\<V

CHAPITBE X

DE LA VALEUR DES ANNUITES PAYABLES PAR SEMESTRE 9 ETC. DES ASSURANCES PAR SEMESTRE 5 ETC. ET DES ANNUITES HYPOTHÉQUÉES SUR IMMEUBLES.

552. Dans les chapitres prëcëdens, les valeurs des annuités ont été calculées dans la supposition qu'elles sont toutes payables annuellement , comme il arrive en effet le plus fréquemment. Mais comme d'autres conventions pourraient se présenter, il sera utile de connaître les limites des différences provenant de ces circonstances. C'est donc pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet que j/entreprends les raisonnemens qui vont suivre, et que je ne ferai précéder d'aucun autre préliminaire (i).

(i) Celui qui touclie une rente viagère par semestre a un double avantage sur celui qui reçoit une même rente annuellement ; car , outre Tinteret de chaque paiement pendant six mois, il a la chance de recevoir un paiement semestriel de plus que celui qui touche annuellement. De la même manière , celui qui touche par trimestre a un double avantage sur celui qui touche par semestre, etc., etc.

( 5oo ) Si a , a!, a!'^ a'", etc. représentent les nombres de personnes vivantes à l'âge de A et aux âges plus avancés que A de i , 2 , 3 , etc. années , d'après ce qui a été dit au n" 25; alors

, , etc.

désigneront les nombres de personnes vivantes aux âges plus avancés que A de ^, i ^, 2 5-, etc. années; ces nombres, quoique n'étant pas strictement exacts dans tous les cas, rempliront le but que nous nous proposons, et seront aussi près de la valeur réelle que nous pouvons le désirer. Par conséquent , la valeur actuelle d'une annuité sur la tête A payable par semestre est égale à

série qui peut évidemmeat se partager en deux autres , savoir

La dernière de ces séries est égale à —; et la première

( 3oi ) qui peut encore se diviser ea deux autres séries

4a (i +ç) est égale à

Donc la valeur totale actuelle de l'annuité est égale à

Mais puisque la quantité

surpasse rarement l'unité d'une quantité considérable (i), cette expression peut être prise, sans erreur

(i) Quand le taux de rinte'rêt est de 2 p. loo par an, la quantité dont il s'agit est égale à i, 000026 , et quand le taux est de 10 p. 100, elle est égale à 1,000669 ; on peut de là se former une idée de sa valeur à tout taux intermédiaire.

sensible, comme égale à

et puisque

est rarement inférieur à ^ (i) d'une quantité considérable, l'expression peut encore se réduire à A -\-\, C'est-à-dire que , si à la valeur de l'annuité payable annuellement on ajoute le quart de la rente dune année , la somme sera, à très peu de chose près, la valeur de la même annuité payable par semestre. Cependant on pourrait aisément déterminer les valeurs exactes au moyen de l'expression générale cidessus.

555. Si nous voulons déterminer la valeur actuelle d'une semblable annuité payable par trimestre y nous prendrons

Za + d a -h 3a' 3d -\- a"

(i) Quand le taux de l'intérêt est de 2 p. loo par an, cette quantité est égale à 0,2475 , et quand l'intérêt est de 10 p. 100, elle est égale à o,2384; maison voit que quand cette quantité diminue, celle mentionnée dans la note précédente augmente ; par conséquent ^ -j- |^ est, à fort peu de chose près, la véritable valeur.

C 3o5 ) pour représenter les nombres de personnes vivantes à la fin de J, 1, i ^, i |, 2 j^, 2 |, etc. anne'es. D où la valeur actuelle d'une annuité sur la tête A payable par trimestre sera trouvée égale à

.4(i-fç)ï 2(i-f-ç)^' 4(i+c)^ ^'"^^^

4(i+ç)^' ' 2(i-fçr ' 4(i-f?r ' ^"^^^

Mais cette série peut se diviser en quatre autres, savoir :

I rZa+a' , 3a'-\-a" , 3a" -^a'" . -\

î r?±£. + f:±f- 4- ?::+£ + etc 1

I ra-f3«' , «'-|-3a" , «"-4-3a'

^* 4«L(l+«)"'"(.+«r + (lHr«)' + ^*''-J

( 5o4 ) Donc la valeur totale actuelle de Tannuité est égale à

i6(i^-ç)^ 8(i-fç)^

i6(i+cr 4

= 4(1 UY H- (4-fg) ■ (ï+g)' 4- 2(2+g) . (i+g)^ 4-4-f-3g

i6(i + gr

Mais, puisque l'expression fractionnaire par laquelle A est multiplie excède rarement l'unité d'une quantité considérable (i), cette formule peut être prise, sans erreur sensible, comme égale à

V , 3(i-4-gr-f-s>(i4-g)^ 4- 1 i6(,+f)^

et puisque cette dernière expression est rarement

> 3 inférieure à ^ (2) d'une quantité considérable, cette

(i) Quand l'iiitérêt est de 2 p. 100, cette quantité' est égale à 1,000037, et quand Tinteiet est de 10 p. 100 , elle est égale à 1,000710 ; on peut parla se former une idée de sa valeur à tout taux intermédiaire.

(2) Quand l'intérêt est de 2 p. loo , cette quantité est égale à 0,3719 , et quand l'intérêt est de 10 p. 100, elle est égale à

expression peut encore se réduire à ^ -f. - ; c'est-àdire, que si à la valeur de lannuité payable annuellement, on ajoute les trois huitièmes de la rente d'une année y la somme sera à très peu de chose près la valeur de la même annuité payable par trimestre. Les valeurs exactes , toutefois, pourraient être aisément déterminées, comme dans le premier cas, au moyen de l'expression générale donnée ci-dessus.

5S4. Dans l'hypothèse de M. de Moivre la valeur actuelle d'une annuité viagère payable /?/2r semestre sera représentée par la série

laquelle peut se diviser en deux autres, savoir

o,36o5; on voit d'ailleurs que cette valeur diminue quand celle de la note pre'cédente augmente ; par conséquent ^ -f- J est, à fort peu de chose près , la valeur exacte.

( 3o6 ) La première de ces séries est égale à

et la seconde est égale à

par conséquent la valeur totale actuelle de lannuité est égale à

De la même manière, la valeur actuelle d'une annuité viagère payable />ar trimestre sera, d après la même hypothèse, égale à

expression qui peut se diviser en deux autres séries^ savoir

(i) Voir ma Théorie de l'Intérêt et de Annuités , p, 56.

3,4, Aa r-1 r-l

Mais la premiere de ces deux séries est égale à

I t—U+eT" , N

et la seconde est égale à

— 76^ X Mi±i)l-zlil'±f)r :

conséquemment la valeur totale actuelle de l'annuité est dans ce cas égale à

En raisonnant de la même manière nous pourrions trouver la valeur actuelle des annuités payables à tous autres intervalles; mais il suffira de montrer la dernière limite de l'augmentation produite par la supposition que l'annuité soit payable à des intervalles de plus en plus rapprochés j cette limite sera trouvée si Ton considère l'annuité comme étant payée instantanément; dans ce cas l'expres-

(ï) Voir ma Théorie de V Intérêt et des Annuités , p. 56.

sion devient

OU à la valeur actuelle d'une annuité certaine pendant l'espace a payable instantanément,

555. Si Ton compare les valeurs numériques de ces expressions pour les annuités payables par semestre ou par trimestre, d'après l'hypothèse de M. de Moivre , à celles déduites d'observations réelles, on verra qu'elles se confîrmeiit mutuellement et qu'elles justifient la règle que j'ai donnée plus haut; je veux dire que la valeur des annuités payables annuellement doit être augmentée d'environ le ^ de la rente d'une année pour indiquer la valeur des mêmes annuités payables par semestre; qu'elle doit être augmentée d'environ | de la rente d'une année pour représenter la valeur des mêmes annuités payables par trimestre, et enfin qu'elle doit être augmentée de la moitié de la rente d'une année pour représenter la valeur des mêmes annuités payable instantanément,

556. Le lecteur doit observer , que dans tous ces cas je n'ai eu égard qu'un taux véritable de l'intérêt annuel^ d'après les principes que j'ai exposés

(i) J'observerai ici que j'appelle NL le logarithme népérien de la quantité qui suit immédiatement ce caractère.

( 3o9 ) dans un autre ouvrage pour déterminer la valeur des annuités en général. Mais ce taux annuel peut toujours être exprimé en fonction du taux nominal ^ en faisant les substitutions dont traite cet ouvrage (i), selon que l'intérêt est payable par se-^ mestre^ ou par trimestre , etc. : nous trouverons par là que, dans l'hypothèse de M. de Moivre, les valeurs actuelles d'une annuité, sur la tête dont le complément de vie est a, payable annuellement ^ par semestre y par trimestre j, et instantanément , et dans la supposition que Vintérêt est aussi payable aux mêmes intervalles, seront représentées respectivement par

ar ' ar ' ar ar

dans ces formules / , h , q, et m représenteront maintenant respectivement les valeurs actuelles d'annuités certaines pendant l'espace a , payables annuellement ^ par semestre, par trimestre et instantanément^ et dans la supposition que Vintérêt aussi est payable aux mêmes intervalles.

Si l'on compare les unes avec les autres les valeurs UUflieriques de ces expressions , on trouvera que les annuités semestrielles vaudront d'après ce principe environ les -^ de la rente d'une année, et les

(ij C'est-à-dire en remplaçant ç par ( i -{ — j — i ; d'après ce qui a été dit dans ma Théorie de Vintérêt et des J^nmdiés j^

flbi

( 3io ) annuités trimestrielles environ les ^ de la rente d'une année de plus que la valeur des mêmes annuités payables annuellement ; et c est la règle donnée par Price (i\ Mais comme les époques des paiements de l'annuité sont totalement indépendantes des époques du paiement de l'intérêt, et ne doivent pas être confondues avec elles (comme je l'ai expliqué longuement dans le dixième chapitre de ma Théorie de V Intérêt et des Annuités), nous trouverons que d'ajouter aux valeurs des tables ^ et I respectivement, comme on le voit aux n*" 3S2 et 555 serait la règle la plus correcte pour l'usage général; c'est ce qui a déjà été avancé par M. Simpson dans sa Théorie des Annuités en Reversion^ P^g^ 79* Comme les deux manières d'opérer sont maintenant sous les yeux du public .^ le calculateur peut adopter la règle qui lui convient le mieux selon les cir-

(i) Vojez ses Observations on Reif. Pay., l. I", p. 246. Les deux exemples suivans , donnés par lui , montreront la différence réelle qui existe dans ces cas.

. Tfaleur d'une annuité sur une tête, intérêt ^ p. 100.