AGES
Payable annuellement.
Payable
par semestre.
Payable
par
trimestre.
Payable instantaném.
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constances. Price s'est efforcé de combattre la règle de M. Simpson sans établir sur quoi il fonde son opposition , et de lui substituer la sienne , sans expliquer la nature et la cause de leur différence.
357. Jusqu'ici je n'ai considéré de différences que dans la valeur des annuités sur une seule tête ; mais il sera évident que dans la supposition où l'on fait valoir l'argent à un taux annuel d'intérêt désigné, les différences seront presque les mêmes pour un groupe de deux têtes, lorsqu'on déduit la valeur de l'annuité d'observations réelles, et que les probabilités de vivre à la fin de chaque semestre sont respectivement représentées par
ab 4- ab' a'b' 4- a"b" a"b" + c^"b"' lab ' lab ' lab '
probabilités qui , quoique n'étant pas tout-à-fait correctes, rempliront le but que nous nous proposons. Cependant dans l'hypothèse de M. de Moivre , et dans la supposition que l'on fait valoir l'argent à un intérêt payable aux mêmes époques que l'annuité, la valeur d'une annuité sur un groupe de deux têtes dont les complémens de vie sont aetb, payable par semestre ^ est exactement exprimée par la série suivante
2ab
(a~2.).{b—2) (a—b),{b--'by
dont la somme, d'après ce qui précède, sera aisément trouvée égale à
De la même manière la valeur d'une annuité sur ces têtes , payable par trimestre , est d'après les mêmes principes égale à
dont la somme est égale à
Et , si Ton suppose que l'annuité et l'intérêt soient tous deux payables instantanément ^ sa valeur deviendra égale à
r ar\^b\ ^/ ^J'
Dans ces diverses formules, les quantités h, q^ et m désignent les valeurs actuelles d'annuités certaines pendant l'espace b , payables par semestre , par tri^ mestre et instantanément ^ dans la supposition que Vintérêt aussi est payable aux mêmes intervalles.
Des Assurances payables par semestre ^ etc.
358. En raisonnant d'une manière semblable à celle qui nous avons suivie dans la première partie de ce chapitre , nous pourrons determiner la valeur actuelle des Assurances pour chaque semestre ou trimestre de la vie humaine. Car, si Ton représente par les mêmes quantités qu'au n° 552 les nombres de personnes vivantes à la fin de ^ , 1^,2^,.... années depuis lage de A, alors les probabilités que cette tête a de s'éteindre dans le courant des premier, second, troisième, etc.^ semestres seront représentées respectivement par
__^__^ ■ • , eiCt
conséquemment la valeur actuelle d'une assurance de la somme s sur la tête A pour chaque semestre de la vie humaine sera véritablement exprimée par
559. De la même manière , si Ton représente par les mêmes quantités qu'au n° 353 les nombres de
(3i4) personnes vivantes à la fin de ^, |, i ^ . . . . années à partir de lage de A, alors les probabilités que cette tête a de s'éteindre dans le courant des premier , second , troisième , etc. , trimestres seront représentées respectivement par
a — a a — a a — a' a — a* a — a" a — cl'
conséquemment la valeur actuelle d'une assurance de la somme s sur la tête A pour chaque trimestre de la vie humaine sera véritablement exprimée par
(i-fç)" (i+ç)^ (i+ç)^ (i-hç) (i-fg)*
+ etc.] = ^£i+(i+py+(i4-/)'+ (!+/'] I — ç A s ç I — ç A
560. En continuant ces subdivisions, nous trouverons que la valeur actuelle de la même assurance sur la tête A pour chaque n'^""' partie d'une année, sera véritablement exprimée par
^ liziA — i ^ 1 X IniJ.
Maintenant quand n est infini, cette formule de-
(5.5) Vient égale à
"' xi=^(i)
NL. (i-l-ç) "" (i-f-ç)
ce qui désigne conse'quemment la valeur d'une assurance pour chaque instant de la vie humaine : cest«à-dire, la valeur de la somme proposée payable immédiatement à Textinction de la tête donnée (2).
Il peut être nécessaire de remarquer ici que ces valeurs sont toutes déduites du véritable taux annuel d'intérêt, qui peut être réduit au taux «ominal en faisant la substitution dont nous avons parlé à la note de la page Sog.
(i) Parce que, dans ce cas, n\{i + ç)" — U est égal au logarithme népérien de (i -f-^).
(2) Comme le logarithme népérien de (i -{- ç ) diffère très peu de — -j-, on peut rendre cette dernière formule plus convenable pour la pratique en la faisant égale à
expression qui excède la valeur de l'assurance annuelle trouvée au moyen de la règle de la page 122, de la quantité
(3i6) Des annuités viagères garanties par des immeubles,
561. Une annuité viagère garantie par des im-' meubles diffère des annuités dont nous avons parlé dans le courant de cet ouvrage, en ce que si le titulaire meurt à une époque quelconque entre les échéances désignées pour le paiement de l'annuité, ses héritiers doivent recevoir une somme proportionnée au temps qui s'est écoulé entre le dernier paiement et sa mort; tandis que dans tous les cas que nous avons considérés jusqu'ici, si le titulaire meurt le jour qui précède celui du paiement, ou à toute autre distance de cette échéance, ses hériritiers ne peuvent prétendre à aucune portion de l'annuité.
Dans ce cas , en supposant que l'annuité soit payable annuellement, le titulaire (puisqu'il y a chance égale pour qu'il meure dans le premier ou dans le second semestre de chaque année) peut être considéré comme ayant l'espérance de la moitié de la rente d'une année , en outre de ce qu'il aurait eu à prétendre de l'autre manière. Mais la valeur de la moitié de I fr. payable à l'extinction d'une tête quelconque A, est d après le problème XXII égale à
et c'est la quantité qu'on doit ajouter à la valeur d'une annuité payable annuellement, pour en ob-
(3,7) tenir la valeur quand elle est garantie par des immeubles: consëquemment la valeur de cette annuité est
562. De la même manière, en supposant que l'annuité soit payable par semestre, le titulaire peut être considéré comme ayant l'espérance du quart de la rente d'une année, en outre de ce qu'il aurait eu à prétendre de l'autre manière. Mais la valeur du quart de i fr. payable à l'extinction de la tête A dans un semestre quelconque est, d'après la formule du n*» 558 , égale à
[i -i-(i+gr]x(i— g^)
expression qu'on doit ajouter à la valeur d'une annuité payable par semestre, pour obtenir sa valeur quand elle est garantie par des immeubles; et ainsi de suite pour les additions à faire à la valeur d'une annuité payable par trimestre, etc. Mais la diffé-^ rence entre la valeur d'une annuité payable annuellement, non garantie par des immeubles , et la valeur d'une annuité payable aux mêmes ou à d'autres intervalles, quand elle est garantie par des immeubles, ne peut jamais excéder o,5 ou la moitié de l'unité.
565. M. de Moivre, dans sa Théorie des chances ^ page 558, a donné, pour trouver la valeur d'une
(3i8) annuité garantie par des immeubles et payable annuellement, un théorème qu'il a démontre par un calcul différentiel; sa méthode est facilement applicable a son hypothèse : et M. Dodson, à la page 4 ^^ 5® volume de son Mathematical Repository j, a donné un autre théorème pour ce dessein sans faire usage du même calcul, et a été conduit à un résultat presque semblable. Mais M. Simpson , dans ses Select Exercises ^ P^g^ ^^5 , et dans le Supplément de sa Théorie des Annuités, page 70, a donné un théorème qui montre la valeur, non dune annuité payable annuellement, et garantie par des immeubles, mais d'une annuité payable instantanément à un taux annuel d'intérêt désigné. Ces valeurs, dans tous les cas, sont obtenues d'après l'hypothèse de M. de Moivre.
J'observerai ici que les formules que j'ai données plus haut sont les premières qui aient été déduites d'observations réelles, et sont beaucoup plus simples que celles déduites de l'hypothèse de M. de Moivre ; mais quoiqu'elles découlent facilement des raisonnemens qui les ont précédées , et que d'autres écrivains eussent pu les appliquer aisément à la valeur des annuités déduites de ces observations, cependant ceux qui ont été le plus ardens à attaquer l'ensemble des principes de M. de Moivre, nonseulement ont conservé sans les corriger ni les blâmer ses formules sur cette question et sur beaucoup d'autres y mais les ont insérées dans leurs ouvrages comme donnant une solution naturelle et correcte de ces difïérens problèmes.
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